Denote [imath]P(x,y)[/imath] by the assertion of [imath]f(x+y)+f(x-y)=2f(x) \cos y[/imath]
[imath]P(x,\dfrac{\pi}{2}) \Rightarrow f(x+\dfrac{\pi}{2})+f(x-\dfrac{\pi}{2})=0[/imath]
[imath]\Rightarrow f(x)+f(x+\pi)=0[/imath]
Replace [imath]x[/imath] by [imath]x+\pi[/imath] we have [imath]f(x+\pi)+f(x+2\pi)=0[/imath]
[imath]\Rightarrow f(x)=f(x+2\pi)[/imath]
[imath]P(x+\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}-y) \Rightarrow f(x-y+\pi)+f(x+y)=2f(x+\dfrac{\pi}{2})\sin y[/imath]
[imath]\Rightarrow f(x+y)-f(x-y)=2f(x+\dfrac{\pi}{2})\sin y[/imath]
Combine with the condition we have [imath]f(x+y)=f(x)\cos y+f(x+\dfrac{\pi}{2})\sin y[/imath]
Plug [imath]x=0[/imath] and we have [imath]f(y)=a\cos y+b \sin y \forall y[/imath]. Plug in the condition we see that [imath]f(x)=a \cos x+b \sin x[/imath] is the solution.
Ký hiệu [imath]P(x,y)[/imath] là phép thế cặp [imath](x,y)[/imath] vào giả thiết.
[imath]P(x,\dfrac{\pi}{2}) \Rightarrow f(x+\dfrac{\pi}{2})+f(x-\dfrac{\pi}{2})=0[/imath]
[imath]\Rightarrow f(x)+f(x+\pi)=0[/imath]
Thay [imath]x[/imath] bởi [imath]x+\pi[/imath] ta có [imath]f(x+\pi)+f(x+2\pi)=0[/imath]
[imath]\Rightarrow f(x)=f(x+2\pi)[/imath]
[imath]P(x+\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}-y) \Rightarrow f(x-y+\pi)+f(x+y)=2f(x+\dfrac{\pi}{2})\sin y[/imath]
[imath]\Rightarrow f(x+y)-f(x-y)=2f(x+\dfrac{\pi}{2})\sin y[/imath]
Kết hợp với giả thiết ta được [imath]f(x+y)=f(x)\cos y+f(x+\dfrac{\pi}{2})\sin y[/imath]
Thay [imath]x=0[/imath] vào ta có [imath]f(y)=a\cos y+b \sin y \forall y[/imath]. Thử lại ta thấy thỏa mãn.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
