Ký hiệu [imath]P(n,m)[/imath] là phép thế cặp [imath](n,m)[/imath] vào giả thiết.
Dễ thấy [imath]f[/imath] đơn ánh.
[imath]P(f(n+k),m) \Rightarrow f(f(f(n+k))+m)=f(n+k)+f(m+k)[/imath] (1)
Đổi chỗ [imath]m,n[/imath] ở (1) ta được [imath]f(f(f(m+k))+n)=f(n+k)+f(m+k)=f(f(f(n+k))+m)[/imath]
Do [imath]f[/imath] đơn ánh nên [imath]f(f(m+k))+n=f(f(n+k))+m \forall m,n \in \mathbb{N}^*[/imath]
[imath]\Rightarrow f(f(n+k))=n+q \forall n \in \mathbb{N}^*[/imath] ([imath]q[/imath] là hằng số) (2)
[imath]P(n,f(m)) \Rightarrow f(f(n)+f(m))=n+f(f(m)+k)[/imath] (3)
Đổi chỗ [imath]m,n[/imath] ở (3) ta được [imath]f(f(n)+k)+m=f(f(n)+f(m))=f(f(m)+k)+n[/imath]
[imath]\Rightarrow f(f(n)+k)=n+r \forall n \in \mathbb{N}^*[/imath] (4)
Thay [imath]n[/imath] bởi [imath]n+r[/imath] ở (2) ta được [imath]f(f(n+r+k))=n+q+r[/imath]
Thay [imath]n[/imath] bởi [imath]n+q[/imath] ở (4) ta được [imath]f(f(n+q)+k)=n+q+r[/imath]
[imath]\Rightarrow f(f(n+r+k))=f(f(n+q)+k) \Rightarrow f(n+r+k)=f(n+q)+k \forall n \in \mathbb{N}^*[/imath]
Đặt [imath]r+k-q=t \in \mathbb{Z}[/imath] thì xét [imath]n \geq q+1[/imath], thay [imath]n[/imath] bởi [imath]n-q[/imath] ta được [imath]f(n+t)=f(n)+k \forall n \geq q+1[/imath] (5)
Từ (4) ta thấy [imath]r \geq 0[/imath].
Giả sử [imath]t<0[/imath]. Khi đó [imath]f(n-t)=f(n)-k[/imath] nên theo quy nạp ta có [imath]f(n-st)=f(n)-sk \forall s \in \mathbb{N}[/imath]
Cố định [imath]n[/imath], cho [imath]s \to +\infty[/imath] thì [imath]n-st \to +\infty[/imath], mà khi đó [imath]f(n)-sk \to -\infty[/imath] nên ta có mâu thuẫn.
Vậy [imath]t \geq 0[/imath].
Bằng quy nạp ta có [imath]f(n+pt)=f(n)+pk \forall n \geq q+1, p \in \mathbb{N}[/imath]
[imath]P(n+t^2,m)[/imath] với [imath]n,m \geq q+1[/imath] ta có [imath]f(f(n+t^2)+m)=n+t^2+f(m)[/imath]
[imath]\Rightarrow f(f(n)+tk+m)=n+k^2+f(m)[/imath]
[imath]\Rightarrow f(f(n)+m)+k^2=n+t^2+f(m)=t^2+f(f(n)+m)[/imath]
[imath]\Rightarrow k=t \Rightarrow q=r[/imath]
Từ đó [imath]f(n+k)=f(n)+k \forall n \geq q+1[/imath].
[imath]P(n,m+k)[/imath] với [imath]m \geq q+1[/imath] ta được [imath]f(f(n)+m+k)=n+f(m+2k)=n+k+f(m+k)[/imath]
[imath]P(n+k,m) \Rightarrow f(f(n+k)+m)=n+k+f(m+k)=f(f(n)+m+k)[/imath]
[imath]\Rightarrow f(n+k)+m=f(n)+m+k \Rightarrow f(n+k)=f(n)+k \forall n \in \mathbb{N}^*[/imath]
Mặt khác [imath]P(n,k) \Rightarrow f(f(n)+k)=n+f(2k) \Rightarrow f(f(n))+k=n+f(k)+k \Rightarrow f(f(n))=n+f(k)[/imath]
Đặt [imath]f(k)=a \in \mathbb{N}^*[/imath]. Ta có: [imath]f(a)=f(f(k))=k+f(k)=a+k \Rightarrow f(f(a))=f(a+k)=f(a)+k=a+2k[/imath]
Lại có: [imath]f(f(a))=a+f(k) \Rightarrow a+f(k)=a+2k \Rightarrow f(k)=2k[/imath]
[imath]\Rightarrow f(f(n))=n+2k[/imath]
Đặt [imath]f(1)=b \in \mathbb{N}^* \Rightarrow f(b)=f(f(1))=1+2k[/imath]
[imath]P(b,m) \Rightarrow f(f(b)+m)=b+k+f(m) \Rightarrow f(m+2k+1)=f(m)+k+b \Rightarrow f(m+1)=f(m)+b-k \forall m \in \mathbb{N}^*[/imath]
Bằng quy nạp ta có [imath]f(m+p)=f(m)+p(b-k) \forall m,p \in \mathbb{N}^*[/imath]
[imath]\Rightarrow f(m+k)=f(m)+k(b-k)[/imath]
Mặt khác, [imath]f(m+k)=f(m)+k \Rightarrow b=f(1)=k+1 \Rightarrow f(m+1)=f(m)+1 \forall m \in \mathbb{N}^*[/imath]
Từ đó quy nạp ta được [imath]f(m)=m-1+f(1) \forall m \in \mathbb{N}^*[/imath]
[imath]\Rightarrow f(m)=m+k \forall m \in \mathbb{N}^*[/imath]
Thử lại ta thấy thỏa mãn. Vậy [imath]f(n)=n+k \forall n \in \mathbb{N}^*[/imath].
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
