pro ne

[toxic123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số dương a;b;c thoả mãn abc=1. CMR:
[TEX]\frac{a}{b^2+c^2+a}+ \frac{b}{a^2+c^2+b}+\frac{c}{a^2+b^2+c} \leq 1[/TEX]

 

[bongtuyet_96]

3 số dương a;b;c thoả mãn abc=1
\Rightarrowa,b,c\leq1
\Rightarrowa-1\leq0,b-1\leq0,c-1\leq0
Xét
[TEX]\frac{a}{b^{2}+c^{2}+a}-\frac{1}{3}[/TEX]
[TEX]=\frac{2a-b^{2}-c^{2}}{3(b^{2+c^{2}+a})}[/TEX]
Có 2a-[TEX]b^{2}-c^{2}[/TEX]=[TEX]4a-(2a+b^{2}+c^{2})[/TEX]
=[TEX]4a-(\frac{2}{bc}+b^{2}+c^{2})[/TEX] ( Vìabc=1\Leftrightarrow[TEX]a=\frac{1}{bc}[/TEX])
theo co si [TEX]\frac{2}{bc}+2bc\geq4[/TEX]
\Rightarrow[TEX]2a-b^{2}-c^{2}\leq4a-4=4(a-1)\leq0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\frac{a}{b^{2}+c^{2}+a}-\frac{1}{3}[/TEX]\leq0
Tương tự[TEX]\frac{b}{a^{2}+c^{2}+b}-\frac{1}{3}[/TEX]\leq0
[TEX]\frac{c}{a^{2}+b^{2}+c}-\frac{1}{3}[/TEX]\leq0
\Rightarrow[TEX]\frac{a}{b^{2}+c^{2}+a}+\frac{b}{a^{2}+c^{2}+b}[TEX][/TEX]+\frac{c}{a^{2}+b^{2}+c}\leq1[/TEX]
dấu bằng xảy ra\Leftrightarrowa=b=c=1

 

[toxic123]

Điều suy ra ở đầu bài làm sao xảy ra được????? Chẳng hạn 2.0,5.1=1 mà

 

[spectre96]

Đây nè!

Đặt [TEX]a=x^3 ; b=y^3 ; c=z^3 [/TEX] Ta có:
[TEX]\frac{x^3}{y^6+z^6+x^3} \leq \frac{x^3}{yz(y^4+z^4)+x^3} = \frac{x^3}{\frac{(y^4+z^4)}{x} + x^3} = \frac{x^4}{y^4+z^4+x^4}[/TEX]
Từ đây suy ra dccm