Pro` + chịu khó làm thử tí nha! :)

[minhme01993]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CÓ bài này xin tặng cả nhà, xem ai giải cách nhanh mà đúng nhất nha! HIHI
1) Tìm min, max của hàm số: [TEX]y=\sqrt[]{a+cosx}+\sqrt[]{a+sinx}[/TEX] với 1\leqa
2) Tìm min, max của hàm số: [TEX]y=\sqrt[]{1+2cosx}+\sqrt[]{1+2sinx}[/TEX]
3) Cho 0\leqx\leq pi/2 và 2\leq m,n thuộc Z
Tìm min, max của y = (sinx)^m.(cosx)^n

 

[tranghh4]

2) bình phương lên rùi đặt [tex] sinx+cosx=t ;/t/=<\sqrt{2}[/tex], [tex]2sinxcosx=t^2 -1[/tex]
thay vào đạo hàm tìm max min

 

[minhme01993]

nói thì dễ làm thì khó! Cứ làm thử mới thấy nó hay chứ bạn! Làm ra mới thấy có nhiều vấn đề đấy!

 

[tiger3323551]

2/Theo bất đẳng thức B.C.S:
[tex]y \le \sqrt{4+2sin(x+pi/4)[/tex]
[tex]=>y_{max} =sqrt{6}[/tex]
Theo bdt minkopki dễ dàng suy ra min =0

 

[minhme01993]

Thật sự tớ không giỏi BDT nhưng tớ tính ra kết quả rất khác.Mà đúng ra nhìn mắt thường cũng thấy không bao giờ có
ymin = 0 được.Tớ nghĩ cậu giải sai rồi!

 

[ivory]

CÓ bài này xin tặng cả nhà, xem ai giải cách nhanh mà đúng nhất nha! HIHI
1) Tìm min, max của hàm số: [TEX]y=\sqrt[]{a+cosx}+\sqrt[]{a+sinx}[/TEX] với 1\leqa
2) Tìm min, max của hàm số: [TEX]y=\sqrt[]{1+2cosx}+\sqrt[]{1+2sinx}[/TEX]
3) Cho 0\leqx\leq pi/2 và 2\leq m,n thuộc Z
Tìm min, max của y = (sinx)^m.(cosx)^n

_________________
Bài 1: vì [TEX]1\le a[/TEX] nên hàm số xác định trên [TEX]R.[/TEX]
Kí hiệu [TEX]sinx+cosx=t, t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}][/TEX]
[TEX]y^2=2a+t+\sqrt{2t^2+4at+4a^2-2}=f(t)[/TEX]
*[TEX]a=1, miny=1,maxy=4+2\sqrt{2}[/TEX].
[TEX]a>1. f'(t)=1+\frac{2t+2a}{\sqrt{2t^2+4at+4a^2-2}}=0\leftrigh t_o=-a-\sqrt{a^2-1}<-1.[/TEX]
[TEX]*a<\frac{3\sqrt{2}}{4}\righ t_o>-\sqrt{2}\righ miny=\sqrt{a+\sqrt{a^2-1}},maxy=\sqrt{4a+2\sqrt{2}}[/TEX]
[TEX]a>\frac{3\sqrt{2}}{4} \righ t_o<-\sqrt{2}\righ miny=\sqrt{4a-2\sqrt{2}},maxy=\sqrt{4a+2\sqrt{2}}.[/TEX]

 

[ivory]

CÓ bài này xin tặng cả nhà, xem ai giải cách nhanh mà đúng nhất nha! HIHI
1) Tìm min, max của hàm số: [TEX]y=\sqrt[]{a+cosx}+\sqrt[]{a+sinx}[/TEX] với 1\leqa
2) Tìm min, max của hàm số: [TEX]y=\sqrt[]{1+2cosx}+\sqrt[]{1+2sinx}[/TEX]
3) Cho 0\leqx\leq pi/2 và 2\leq m,n thuộc Z
Tìm min, max của y = (sinx)^m.(cosx)^n

baif2
[TEX]\left{1+2sinx\ge 0\\ 1+2cosx\ge 0[/TEX][tex]\leftrigh \left{(1+2sinx)(1+2cosx)\ge 0\\ 2+2(sinx+cosx)\ge 0[/tex]
kis hiệu [TEX]sinx+cosx=t, |t|\le \sqrt{2}[/TEX], ta có hệ
[TEX]\left{2t^2+2t-1\ge 0\\2+2t\ge 0[/TEX][TEX]\leftrigh \frac{-1+\sqrt{3}}{2}\le t\le \sqrt{2}[/TEX]
[TEX]y^2=2t+2+2\sqrt{2t^2+2t-1}=s(t), s'(t)= ...>0[/TEX]
....

 

[minhme01993]

Hì bài 1 bạn mới làm đúng ymax thui, ymin sai rùi ^^.TÍnh lại đi.Bài 2 thì... giải tiếp mới hay chứ. Chăm chỉ giải nốt đi bạn!
Mà B3 ko ai muốn làm ah?

 

[ngomaithuy93]

3) Cho 0\leqx\leq pi/2 và 2\leq m,n thuộc Z
Tìm min, max của y = (sinx)^m.(cosx)^n

[TEX]y=sin^mxcos^nx=\frac{(1-cos2x)^{\frac{m}{2}}.(1+cos2x)^{\frac{n}{2}}}{2^{.\frac{m+n}{2}}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow y'=m(1-cos2x)^{\frac{m}{2}-1}(1+cos2x)^{\frac{n}{2}}.sin2x-n(1+cos2x)^{\frac{n}{2}-1}sin2x.(1-cos2x)^{\frac{m}{2}}[/TEX]
[TEX] = 2sin2x.(mcos2x+ncos2x+m-n).(1-cos2x)^{\frac{m}{2}-1}.(1+cos2x)^{\frac{n}{2}-1}[/TEX]
[TEX]y'=0 \Leftrightarrow \left[{sin2x=0}\\{cos2x=1}\\{cos2x=-1}\\{mcos2x+ncos2x+m-n=0}[/TEX]
[TEX] 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left[{x=0}\\{x=\frac{\pi}{2}}\\{4(m+n)cos^2x=2n}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left[{x=0}\\{x=\frac{\pi}{2}}\\{cos^2x=\frac{n}{2(m+n)} \Rightarrow cosx=\sqrt{\frac{n}{4(m+n)}} \Rightarrow sinx=\sqrt{\frac{4m+3n}{4(m+n)}} \Rightarrow y=\frac{(\sqrt{4m+3n})^m.(\sqrt{n})^n}{(2\sqrt{m+n})^{m+n}}>0[/TEX]

• [TEX]y(0)=0[/TEX]
• [TEX]y(\frac{\pi}{2})=0[/TEX]

Vậy: [TEX]\max_{x \in [0;\frac{\pi}{2}]}y=\frac{(\sqrt{4m+3n})^m.(\sqrt{n})^n}{(2\sqrt{m+n})^{m+n}}[/TEX] khi [TEX]\tex cosx=\sqrt{\frac{n}{4(m+n)}} & sinx=\sqrt{\frac{4m+3n}{4(m+n)}}[/TEX]
[TEX]\min_{x \in [0;\frac{\pi}{2}]}y=0[/TEX] khi x=0 hoặc [TEX]x=\frac{\pi}{2}[/TEX]

 

[minhme01993]

Bạn ơi, sao mà làm thế được, bạn nhầm rùi kìa:
m( 1+ cos2x ) - n( 1 - cos2x) khác 2.cos2x mà!
=> You was wrong!

 

[ngomaithuy93]

Bạn ơi, sao mà làm thế được, bạn nhầm rùi kìa:
m( 1+ cos2x ) - n( 1 - cos2x) khác 2.cos2x mà!
=> You was wrong!

Cảm ơn c! t nhầm!
t đã sửa bài rồi!
Lần sau t sẽ cố gắng cẩn thận hơn!

 

[minhme01993]

Đúng rùi đấy nhưng tớ nghĩ mình nên đạo hàm ngay từ đâu sẽ dễ hơn, kết quả vẫn cho vậy mà ngắn và dễ hiểu. Lúc đấy thì y max tại [TEX]arctan\frac{\sqrt[]{n}}{\sqrt[]{m}}[/TEX]
Thiệt đấy bạn làm thử xem!

 

[ivory]

CÓ bài này xin tặng cả nhà, xem ai giải cách nhanh mà đúng nhất nha! HIHI
1) Tìm min, max của hàm số: [TEX]y=\sqrt{a+cosx}+\sqrt{a+sinx}[/TEX] với 1\leqa
2) Tìm min, max của hàm số: [TEX]y=\sqrt{1+2cosx}+\sqrt{1+2sinx}[/TEX]
3) Cho 0\leqx\leq pi/2 và 2\leq m,n thuộc Z
Tìm min, max của y = (sinx)^m.(cosx)^n

thêm lời giải cho 3).
Xét [TEX]P=sin^{2m}x.cos^{2n}x.[/TEX] Kí hiệu [TEX]sin^2x=a,cos^2x=b.[/TEX]
Ta có [TEX]a,b\ge 0;a+b=1[/TEX] và [TEX]P=a^mb^n[/TEX].
áp dụng bất đẳng thức cosy đối với [TEX](m+n)[/TEX] số, gồm [TEX]m[/TEX] số[TEX]\frac{na}{m+n}[/TEX] và [TEX]n[/TEX]số [TEX]\frac{mb}{m+n}[/TEX], ta có:
[TEX]m.\frac{na}{m+n}+n.\frac{mb}{m+n}\ge (m+n)\sqrt[m+n]{\frac{(na)^m(bm)^n}{(m+n)^{m+n}}};[/TEX]
Lưu ý đến giả thiết ta sẽ có [TEX]P=a^mb^n\le \frac{m^mn^n}{(m+n)^{m+n}}[/TEX]. Mặt khác vì [TEX]0\le x\le \frac{\pi}{2}[/TEX] nên [TEX]sinx\ge 0, cosx\ge 0.[/TEX]
Dẫn đến [TEX]sin^mxcos^nx=\sqrt{P}\le \sqrt{\frac{m^mn^n}{(m+n)^{m+n}}}[/TEX]. đẳng thức tại[TEX]x[/TEX],thoả mãn [TEX]sinx=\sqrt{\frac{m}{m+n}}.[/TEX]

 

[ivory]

[TEX]y=sin^mxcos^nx=\frac{(1-cos2x)^{\frac{m}{2}}.(1+cos2x)^{\frac{n}{2}}}{2^{.\frac{m+n}{2}}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow y'=m(1-cos2x)^{\frac{m}{2}-1}(1+cos2x)^{\frac{n}{2}}.sin2x-n(1+cos2x)^{\frac{n}{2}-1}sin2x.(1-cos2x)^{\frac{m}{2}}[/TEX]
[TEX] = 2sin2x.(mcos2x+ncos2x+m-n).(1-cos2x)^{\frac{m}{2}-1}.(1+cos2x)^{\frac{n}{2}-1}[/TEX]
[TEX]y'=0 \Leftrightarrow \left[{sin2x=0}\\{cos2x=1}\\{cos2x=-1}\\{mcos2x+ncos2x+m-n=0}[/TEX]
[TEX] 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left[{x=0}\\{x=\frac{\pi}{2}}\\{4(m+n)cos^2x=2n}[/TEX]


[TEX]\Rightarrow \left[{x=0}\\{x=\frac{\pi}{2}}\\{cos^2x=\frac{n}{2(m+n)} \Rightarrow cosx=\sqrt{\frac{n}{4(m+n)}} \Rightarrow sinx=\sqrt{\frac{4m+3n}{4(m+n)}} \Rightarrow y=\frac{(\sqrt{4m+3n})^m.(\sqrt{n})^n}{(2\sqrt{m+n})^{m+n}}>0[/TEX]

• [TEX]y(0)=0[/TEX]
• [TEX]y(\frac{\pi}{2})=0[/TEX]

Vậy: [TEX]\max_{x \in [0;\frac{\pi}{2}]}y=\frac{(\sqrt{4m+3n})^m.(\sqrt{n})^n}{(2\sqrt{m+n})^{m+n}}[/TEX] khi [TEX]\tex cosx=\sqrt{\frac{n}{4(m+n)}} & sinx=\sqrt{\frac{4m+3n}{4(m+n)}}[/TEX]
[TEX]\min_{x \in [0;\frac{\pi}{2}]}y=0[/TEX] khi x=0 hoặc [TEX]x=\frac{\pi}{2}[/TEX]

Theo mình, để đỡ "hoa mắt" nên viết như sau:
[TEX]\foral x\in (0;\frac{\pi}{2}),y=sin^mxcos^nx\leftrigh lny=mln(sinx)+nln(cosx)=L(x)[/TEX]
hình như giá trị lớn nhất bạn tìm chưa đúng?

 

[minhme01993]

Ôi! Các bạn giỏi wa'! Thật đáng khen hì hì! ^^!
Cái phần này hay nhỉ! Hùm nào mình sẽ cùng chia sẻ thêm cho mọi người vài bài nữa nhưng giờ thì chuẩn bị khảo sát phải học đã. Mình sẽ sớm post thêm nha!!