Post [Toán 10] bđt lượng giác

[thanhnga96]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

chứng minh rằng trong tam giác ABC ta luôn có:
[TEX]cos{\frac{A}{2}}+cos{\frac{B}{2}}+cos{\frac{C}{2}} \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX]
chứng minh giúp mình bằng cách sử dụng bdt cosi nhé.thank các bạn rất nhiều.

 

[jelouis]

$cos\frac{A}{2}+cos\frac{B}{2}+cos\frac{C}{2}=\frac{2}{\sqrt{3}}[cos\frac{A}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}+cos\frac{B}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}]+\sqrt{3}[\frac{cos\frac{A}{2}}{\sqrt{3}}.sin\frac{B}{2}+\frac{cos\frac{B}{2}}{\sqrt{3}}sin\frac{A}{2}]$
\leq $\frac{1}{\sqrt{3}}[(cos^2\frac{A}{2}+\frac{3}{4})+(cos^2\frac{B}{2}+\frac{3}{4})]+\frac{\sqrt{3}}{2}[(\frac{cos^2\frac{A}{2}}{3}+sin^2\frac{A}{2})+(\frac{cos^2\frac{B}{2}}{3}+sin^2\frac{A}{2})]=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

[heroineladung]

Bài này lần trước mình giải cho bạn rồi mà nhỉ! Thôi mình giải lại nhé! Ấn đúng dùm mình!

AD BDT Bunhiacopxki ta có:
[TEX](cos.\frac{A}{2} + cos.\frac{B}{2} + cos.\frac{C}{2})^2 \leq (1 + 1 + 1). (\frac{cos^2A}{2} + \frac{cos^2B}{2} + \frac{cos^2C}{2})[/TEX]

[TEX]= 3. ( \frac{1 + cosA}{2} + \frac{1 + cosB}{2} + \frac{1 + cosC}{2})[/TEX]

[TEX]= 3.(\frac{3}{2} + \frac{cosA + cosB + cosC}{2} )[/TEX]

[TEX]\leq 3.(\frac{3}{2} + \frac{3}{4}) = \frac{27}{4}[/TEX]

\Rightarrow [TEX]cos.\frac{A}{2} + cos.\frac{B}{2} + cos.\frac{C}{2} \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX]

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow Tam giác ABC đều.

 

[heroineladung]

Bạn cũng có thể làm theo cách này nè!!!
ta có :

\Rightarrow

vì

\Rightarrow

\Rightarrow

\Rightarrow đpcm