pip ...pip bài khó đây

[dotuongbo]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

chứng minh 1/(a-b)^2 + 1/(b-c)^2 + 1/(c-a)^2 là bình phương của 1 số hữu tỉ biết a,b,c thuoc Q

 

[nguyenbahiep1]

mẫu chung là số chính phương rồi

vậy chỉ cần quan tâm đến tử

Tử số của biểu thức sau khi quy đồng là

[laTEX](b-c)^2(c-a)^2 + (c-a)^2(a-b)^2 + (a-b)^2(b-c)^2 = (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^2[/laTEX]

vậy dẫn đến điều phải chứng minh

 

[minhhieupy2000]

giải

Đặt N= 1/(a-b)^2 + 1/(b-c)^2 + 1/(c-a)^2
Ta có :

( 1/(a-b) + 1/(b-c) + 1/(c-a) )^2
= 1/(a-b)^2 + 1/(b-c)^2 + 1/(c-a)^2 + 2/(a-b)(b-c) + 2/(b-c)(c-a) + 2/(c-a)(a-b)

=N + 2(a-b) + 2(b-c) + 2(c-a)
_______________________
(a-b)(b-c)(c-a)

= N + 2(a-b+b-c+c-a)
___________
(a-b)(b-c)(c-a)
= N + 0
\Rightarrow N = (1/(a-b) + 1/(b-c) + 1/(c-a))^2
vậy 1/(a-b)^2 + 1/(b-c)^2 + 1/(c-a)^2 là bình phương một số hữu tỉ