Phương Trình

[coppydera@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [TEX]\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}= \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}[/TEX]
Chứng minh rằng[TEX] \frac{x^2015+y^2015+z^2015}{a^2015+b^2015+c^2015}= \frac{x^2015}{a^2015}+ \frac{y^2015}{b^2015}+ \frac{z^2015}{c^2015}[/TEX]

 

[thaygiaodaytoan]

Đề bài chính xác là: Cho $x,y,z,a,b,c$ là các số thực, với $abc\neq0$ thoả mãn $\Large \frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}$.
Chứng minh rằng $\Large \frac{x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}{a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}} = \frac{x^{2015}}{a^{2015}} + \frac{y^{2015}}{b^{2015}} + \frac{z^{2015}}{c^{2015}} $.

Bài giải.

Ta có $\Large \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \ge \frac{x^2}{a^2+b^2+c^2} + \frac{y^2}{a^2+b^2+c^2} + \frac{z^2}{a^2+b^2+c^2}= \frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}$.

Suy ra các dấu bằng phải xảy ra. Vì $abc\neq0$ nên $x=y=z=0$.

Từ đó ta suy ra $\Large \frac{x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}{a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}} = 0$ và $\Large \frac{x^{2015}}{a^{2015}} + \frac{y^{2015}}{b^{2015}} + \frac{z^{2015}}{c^{2015}} =0$. Do đó ta có điều phải chứng minh.