Đk : $-1\le x\le 2$. NX : $x=-1\ ;\ x=2$ không thoả (1) nên $-1<x<2$.
Đặt $t=\sqrt{x+1}\ (0<t<\sqrt{3})$. Pt trở thành : $\sqrt{3-t^2}=t^4-t-3$
\Leftrightarrow $\begin{cases}0<t<\sqrt{3}\ ;\ g(t)=t^4-t-3\ge0 \\ f(t)=t^8-2t^5-6t^4+2t^2+6t+6=0\end{cases}$ (2)
$f'(t)=8t^7-10t^4-24t^3+4t+6=2(4t^7-5t^4-12t^3+2t+3)$
$f''(t)=56t^6-40t^3-72t^2+4=4(14t^6-10t^3-18t^2+1)$
$f'''(t)=336t^5-120t^3-144t=24t(14t^4-5t^2-6)=24t(2t^2+1)(7t^2-6)$
Mà $f''(0)>0>f''\left(\dfrac{1}{2}\right) ; f''(1)<0<f''(\sqrt{3})$
Suy ra $f''(t)=0$ có đúng 2 nghiệm $t_1,t_2$ với $0<t_1<\frac{1}{2}<1<t_2<\sqrt{3}$.
Mà $f'(0)>0\ (0<t<\frac{1}{2})\ ;\ f'\left(\dfrac{1}{2}\right)>0>f'(1)\ ;\ f'(1)<0<f'\left(\frac{3}{2}\right)$
Suy ra $f'(t)=0$ có đúng 2 nghiệm $t_3,t_4$ với $\dfrac{1}{2}<t_3<1<t_4<\dfrac{3}{2}$
Mà $f'(t)>0\ (0<t<1)\ ;\ f(1)>f(0)>0>f(1.4)\ ;\ f\left(\dfrac{3}{2}\right)<0<f(\sqrt{3})$
Suy ra $f(t)=0$ có đúng 2 nghiệm $t_5,t_6$ với $1<t_5<1.4<\frac{3}{2}<t_6<\sqrt{3}$.
$g'(t)=4t^3-1$ ; $g'(t)=0$\Leftrightarrow $t=\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}}$
Do đó nghiệm $t_5<1.4$ nên loại, chỉ nhận nghiệm $\dfrac{3}{2}<t_6<\sqrt{3}$.
Vậy pt (1) có đúng 1 nghiệm $x$ : $x=t_6^2-1$.
(Còn việc giải ra nghiệm cụ thể thì ... toán học trên thế giới hiện tại vẫn chưa có cách giải pt bậc cao !!)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
