phương trình vô tỷ

[quanghao98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b là các số hữu tỷ thỏa mãn:
$a^{2013}+b^{2013}=2a^{1006}b^{1006}$

chứng minh phương trình $x^2+2x+ab=0$có 2 nghiệm hữu tỷ

 

[quanghao98]

nản quá bài này nhìn thì biết được a=b=0;1 mà không chứng minh được chán quá

 

[congchuaanhsang]

Đâu cần phải tìm ra a,b cụ thể!
Ta có: $a^{2013}$+$b^{2013}$=$2a^{1006}b^{1006}$
\Leftrightarrow$(a^{2013}+b^{2013})^2$=$(2a^{1006}b^{1006})^2$
\Leftrightarrow$a^{4026}$+$2a^{2013}b^{2013}$+$b^{4026}$=$4a^{2012}b^{2012}$
\Leftrightarrow$a^{4026}$-$2a^{2013}b^{2013}$+$b^{4026}$=$4a^{2012}b^{2012}$-$4a^{2013}b^{2013}$
\Leftrightarrow$(a^{2013}-b^{2013})^2$=$4a^{2012}b^{2012}$-$4a^{2013}b^{2013}$
Vì $(a^{2013}-b^{2013})^2$ là bình phương của một số hữu tỉ
\Rightarrow$4a^{2012}b^{2012}$-$4a^{2013}b^{2013}$ là bình phương của một số hữu tỉ
\Leftrightarrow($a^{2012}b^{2012}$)(4-4ab) là bình phương của một số hữu tỉ
Mà $a^{2012}b^{2012}$ là bình phương của một số hữu tỉ
\Rightarrow4-4ab là bình phương của một số hữu tỉ
\Rightarrow$\sqrt{4-4ab}$ là số hữu tỉ.
Quay lại với phương trình $x^2$+2x+ab ta có $\Delta$=4-4ab
\RightarrowHai nghiệm của PT là $x_1$=$\frac{-2-\sqrt{4-4ab}}{2}$ và $x_2$=$\frac{-2+\sqrt{4-4ab}}{2}$
Mà $\sqrt{4-4ab}$ là số hữu tỉ (đã cm ở trên)\Rightarrow$x_1$và $x_2$ là các số hữu tỉ
Vậy PT $x^2$+2x+ab có 2 nghiệm hữu tỉ.