Phương trình vô tỉ

V

vungocthanhsp2

Đk [TEX]1 + 8000x \ge 0 [/TEX]
Đặt [TEX]\sqrt {1 + 8000x} + 1 = 2y{\rm{ (dk:t}} \ge \frac{1}{2}) [/TEX]
Kết hợp với đề bài ta được hệ
[TEX]\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - x = 2000y \\ {y^2} - y = 2000x \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - x = 2000y \\ (x - y)(x + y + 1999) = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - x = 2000y \\ y = x \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2001x = 0 \\ y = x \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = x = 0(L) \\ y = x = 2001 \\ \end{array} \right. [/TEX]
Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất x= 2001
 
T

trinhthiphuong1

vungocthanhsp2 said:
Đk [TEX]1 + 8000x \ge 0 [/TEX]
Đặt [TEX]\sqrt {1 + 8000x} + 1 = 2y{\rm{ (dk:t}} \ge \frac{1}{2}) [/TEX]
Kết hợp với đề bài ta được hệ
[TEX]\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - x = 2000y \\ {y^2} - y = 2000x \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - x = 2000y \\ (x - y)(x + y + 1999) = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - x = 2000y \\ y = x \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2001x = 0 \\ y = x \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = x = 0(L) \\ y = x = 2001 \\ \end{array} \right. [/TEX]
Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất x= 2001
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Như vậy đáp số bài trên là x=2001
Cho em hỏi bài nữa :
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
[TEX]P = \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)[/TEX]
Với [TEX]1 \le a,b,c \le 2[/TEX]
 
V

vungocthanhsp2

trả lời

Tìm giá trị nhỏ nhất :
Áp dụng bất đẳng thức cô si với 3 số dương.Ta có :
[TEX]\begin{array}{l} a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}} \\ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{abc}}}} \\ \Rightarrow P = \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9 \\ \end{array}[/TEX]
Vậy minP=9 khi a=b=c thuộc vào [1;2]
 
Last edited by a moderator:
K

kakashi168

vungocthanhsp2 said:
Tìm giá trị nhỏ nhất :
Áp dụng bất đẳng thức cô si với 3 số dương.Ta có :
[TEX]\begin{array}{l} a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}} \\ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{abc}}}} \\ \Rightarrow P = \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9 \\ \end{array}[/TEX]
Vậy minP=9 khi a=b=c thuộc vào [1;2]
+) Tìm giá trị lớn nhất
Ta có :
[TEX]1 \le a \le 2 \Leftrightarrow (a - 1)(a - 2) \le 0 \Leftrightarrow {a^2} - 3a + 2 \le 0 \Leftrightarrow 2 \le 3a - {a^2} \Leftrightarrow \frac{2}{a} \le 3 - a[/TEX]
Tương tự
[TEX]\begin{array}{l} \frac{2}{c} \le 3 - c \\ \frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c} \le 9 - \left( {a + b + c} \right) \\ \Rightarrow 2P = \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c}} \right) \le \left( {a + b + c} \right)[9 - (a + b + c)] \\ \end{array}[/TEX]

Đặt [TEX]t = a + b + c,3 \le t \le 6[/TEX]
Xét [TEX]\begin{array}{l} f(t) = t(9 - t) = 9t - {t^2},3 \le t \le 6 \\ \Rightarrow f'(t) = 9 - 2t \\ \Rightarrow f(t) \le 18 \\ \end{array}[/TEX]
Vậy MaxP=18
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Max P chỉ bằng 10 thôi thầy ạh :)
 
V

vungocthanhsp2

[TEX]P = \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = 3 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} + \frac{c{a[/TEX]
[TEX]Gs:1 \le a \le b \le c \le 2 \Rightarrow (1 - \frac{a}{b})(1 - \frac{b}{c}) + (1 - \frac{b}{a})(1 - \frac{c}{b}) \ge 0 \Rightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \le 2 + \frac{a}{c} + \frac{c}{a}[/TEX]
[TEX]Do:\frac{1}{2} \le \frac{a}{c} \le 1 \Leftrightarrow (\frac{a}{c} - \frac{1}{2})(\frac{a}{c} - 2) \le 0 \Rightarrow {\left( {\frac{a}{c}} \right)^2} - \frac{5}{2}\frac{a}{c} + 1 \le 0 \Rightarrow \frac{a}{c} + \frac{c}{a} \le \frac{5}{2}[/TEX]
[TEX]P = 3 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} + \frac{c}{a} \le 5 + 2\left( {\frac{a}{c} + \frac{c}{a}} \right) \le 5 + 5 = 10[/TEX]
Vậy MaxP= 10
 
V

vungocthanhsp2

Bài tập phát triển :

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :

[TEX]P = {\left( {a + b + c} \right)^2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)[/TEX]
Với [TEX]a,b,c \in [1;2][/TEX]

Bài làm :
+) Tìm giá trị nhỏ nhất ta sử dụng côsi
minP=27 khi a=b=c=1

+) Tìm giá trị lớn nhất dùng phương pháp khảo sát hàm số ta được
MaxP=54 khi a=b=c=2
 
T

trinhthiphuong1

Như vậy
MinP=9 khi a=b=c
Còn maxP=10 khi a=b=1 và c=2

Ở trên thầy theo đổi cấu trúc bài toán thì nó cho ta bài toán khác và cách làm có vẻ dễ ơn.

Còn nếu như em thay đổi như thế này thì sao ?

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :

[TEX]P = \left( {a + b + c} \right){\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2}[/TEX]
Với [TEX]a,b,c \in [1;2][/TEX]

Thì khi đó liệu cách làm của ta có thay đổi không ?
 
T

trinhthiphuong1

Câu hỏi số 3

Thầy cho em hỏi câu hỏi này nữa . Mong thầy trả lời giúp em
Em sắp thi rồi nên lo lắng lắm
a) Giải phương trình vô tỉ sau : [TEX]\sqrt[3]{{3{x^2} - x + 2001}} - \sqrt[3]{{3{x^2} - 7x + 2002}} - \sqrt[3]{{6x - 2003}} = \sqrt[3]{{2002}}[/TEX]
b) Tìm a,b,c để [TEX]\left| {4{x^3} + a{x^2} + bx + c} \right| \le 1,\forall x \in [ - 1;1] [/TEX]

Em xin chân thành cảm ơn và hậu tạ
 
V

vungocthanhsp2

trinhthiphuong1 said:
Thầy cho em hỏi câu hỏi này nữa . Mong thầy trả lời giúp em
Em sắp thi rồi nên lo lắng lắm
a) Giải phương trình vô tỉ sau : [TEX]\sqrt[3]{{3{x^2} - x + 2001}} - \sqrt[3]{{3{x^2} - 7x + 2002}} - \sqrt[3]{{6x - 2003}} = \sqrt[3]{{2002}}[/TEX]
b) Tìm a,b,c để [TEX]\left| {4{x^3} + a{x^2} + bx + c} \right| \le 1,\forall x \in [ - 1;1] [/TEX]

Em xin chân thành cảm ơn và hậu tạ
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Thầy có cảm giác là em như đang thách đố sao ấy.
Nhưng được rồi thây cố gắng suy nghĩ xem nó như thế nào vậy.

Câu 3
a) Ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ như sau :

[TEX]a = \sqrt[3]{{3{x^2} - x + 2001}},b = - \sqrt[3]{{3{x^2} - 7x + 2002}},c = - \sqrt[3]{{6x - 2003}} \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = 2002[/TEX]
Khi đó phương trình trở thành :

[TEX]{a^3} + {b^3} + {c^3} = {(a + b + b)^3} \Leftrightarrow (a + b)(b + c)(c + a) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = - b \\ b = - c \\ c = - a \\ \end{array} \right.[/TEX]
[TEX]a = - b \Leftrightarrow \sqrt[3]{{3{x^2} - x + 2001}} = \sqrt[3]{{3{x^2} - 7x + 2002}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{6}(tm)[/TEX]

[TEX]b = - c \Leftrightarrow \sqrt[3]{{3{x^2} - 7x + 2002}} = - \sqrt[3]{{6x - 2003}} \Leftrightarrow x = \frac{{1 \pm \sqrt {13} }}{6}[/TEX]
[TEX]a = - c \Leftrightarrow \sqrt[3]{{3{x^2} - x + 2001}} = \sqrt[3]{{6x - 2003}}(VN)[/TEX]


b) Còn câu b em vào trang web thầy mới xây dựng mà xem thầy giải ở trên đấy rồi .Thầy không giải lại nữa vì đánh công thức toán học ngại lắm. Với lại máy nhà thầy không xem được công thức toán học trên diễn đàn ,thầy phải ra ngoài quán nét mới xem được đầu bài. Trong thời gian vội vã có điều gì sai sót mong em thông cảm nhé . Có gì em đáng đề bài rồi gửi cho thầy email hoặc em đánh vào 1 cái post nào đó trên maths.vn rồi gửi qua níc cũng được
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom