Phương trình và hệ phương trình

[chuotbachkute]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho phương trình $x^4 -(3m+14)x^2+(4m+12)(2-m)=0$
có 4 nghiệm phân biệt. Tìm max của $x_{1}.x_{2}.x_{3}.x_{4}$

2. Biết (x;y) thỏa mã phương trình $x^2 +y^2+6x-3y-2xy+7=0$ sao cho y lớn nhất. Khi đó x-y=?

3.Cho hệ $$ \left\{\begin{matrix} x+y=4\\(x^2 + y^2)(x^3+y^3)=280 \end{matrix}\right.$$
Tính $x^4+y^4$

4. Cho hệ
mx+4y=m+2 (1)
x+my=m (2)
có nghiệm duy nhất (x;y) là tọa độ điểm A thuộc đường tròn tâm B, bán kính 1 đơn vị độ dài. Khi B thuộc trục Ox và có x=1 thì m=?

 

[thanhcong1594]

Câu 1:
Đặt x^2 = t >= 0
Khi đó ta được : t^2 - (3m + 14)t + (4m + 12)(2-m) = 0 (1)
Δ = (3m + 14)^2 - 4(4m + 12)(2 - m) = 25(m + 2)^2
Phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt
Khi đó
{Δ > 0
{S = t1 + t2 > 0
{P = t1.t2 > 0
Theo hệ thức Vi-ét : t1 + t2 = 3m + 14 và t1.t2 = (4m + 12)(2 - m) = -4m^2 - 4m + 24
Do đó :
{25(m + 2)^2 > 0
{3m + 14 > 0
{-4m^2 - 4m + 24 > 0
=> -3 <= m <= 2 và m # -2

Phương trình ban đầu nếu có 4 nghiệm phân biệt thì luôn tồn tại 2 cặp nghiệm đối nhau, chẳng hạn
-x1 = x3 và -x2 = x4
=> x1.x2.x3.x4 = x1.x2.(-x1).(-x2) = (x1.x2)^2
Nhận thấy rằng x1^2 = t1 và x2^2 = t2
=> x1.x2.x3.x4 = t1.t2 = -4m^2 - 4m + 24 = -(2m + 1)^2 + 25 <= 25
Max (x1.x2.x3.x4) = 25 <=> m = $\frac{-1}{2}$ (nhận)
Nguồn: ST

 

[lp_qt]

Câu 2

$x^2+y^2+6x−3y−2xy+7=0 \Longleftrightarrow x^2-2.(y-3)x+y^2-3y+7=0$ (*)

coi pt (*) là pt ẩn $x$ tham số $y$

(*) có nghiệm $x$ \Leftrightarrow $\Delta '=(y-3)^2-(y^2-3y+7)=2-3y \ge 0$

\Leftrightarrow $y \le \dfrac{2}{3}$

vậy $y_{max}= \dfrac{2}{3}$ khi đó $x=...$

\Rightarrow tính được $x-y$

 

[hien_vuthithanh]

3.Cho hệ $$ \left\{\begin{matrix} x+y=4\\(x^2 + y^2)(x^3+y^3)=280 \end{matrix}\right.$$
Tính $x^4+y^4$

$(x^2 + y^2)(x^3+y^3)=280 $

$\leftrightarrow [(x+y)^2-2xy)][(x+y)^3-3xy(x+y)]=280$

$\leftrightarrow (16-2xy)(64-12xy)=280$

Giải PT này tìm $xy$

$\rightarrow x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2(xy)^2=[(x+y)^2-2xy]^2-2(xy)^2$

Thay số