phương trình và bất đẳng thức

[iloveyou123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho mình xin cách giải tổng quát của pt: $f(x).\sqrt{g(x)} \ge 0$

Cho a,b,c > 0 thỏa $a^2+b^2+c^2 = 1$ . CMR:

$A = \dfrac{a^3}{b+2c}+\dfrac{b^3}{c+2a}+\dfrac{c^3}{a+2b} \ge \dfrac{1}{3}$

Cho a,b,c là các số dương. CMR:

$B = \dfrac{a^3}{(b+c)^2}+\dfrac{b^3}{(a+c)^2}+\dfrac{c^3}{(a+b)^2} \ge \dfrac{a+b+c}{4}$

Cho mình hỏi làm sao để biết cách tách để sd được bđt cho đúng.

 

[hien_vuthithanh]

Cho a,b,c > 0 thỏa $a^2+b^2+c^2 = 1$ . CMR:

$A = \dfrac{a^3}{b+2c}+\dfrac{b^3}{c+2a}+\dfrac{c^3}{a+2b} \ge \dfrac{1}{3}$

Ta có $A = \dfrac{a^3}{b+2c}+\dfrac{b^3}{c+2a}+\dfrac{c^3}{a+2b} =\dfrac{a^4}{ab+2ac}+\dfrac{b^4}{bc+2ab}+\dfrac{c^4}{ac+2bc} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3(ab+bc+ca)}\ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3(a^2+b^2+c^2)}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}= \dfrac{1}{3}$

Dấu = \Leftrightarrow $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Cho a,b,c là các số dương. CMR:

$B = \dfrac{a^3}{(b+c)^2}+\dfrac{b^3}{(a+c)^2}+\dfrac{c^3}{(a+b)^2} \ge \dfrac{a+b+c}{4}$

$\dfrac{a^3}{(b+c)^2}+\dfrac{b+c}{8}+\dfrac{b+c}{8}\ge \dfrac{3}{4}a$

TT \Rightarrow $\dfrac{a^3}{(b+c)^2}+\dfrac{b^3}{(a+c)^2}+\dfrac{c^3}{(a+b)^2}\ge \dfrac{3}{4}(a+b+c)-\dfrac{1}{2}(a+b+c)=\dfrac{a+b+c}{4}$

Dấu = \Leftrightarrow $a=b=c$

 

[iloveyou123]

$\dfrac{a^3}{(b+c)^2}+\dfrac{b+c}{8}+\dfrac{b+c}{8}\ge \dfrac{3}{4}a$

TT \Rightarrow $\dfrac{a^3}{(b+c)^2}+\dfrac{b^3}{(a+c)^2}+\dfrac{c^3}{(a+b)^2}\ge \dfrac{3}{4}(a+b+c)-\dfrac{1}{2}(a+b+c)=\dfrac{a+b+c}{4}$

Dấu = \Leftrightarrow $a=b=c$[/B]

làm sao để tác được như thế vậy bạn.......................................

 

[hien_vuthithanh]

Để dấu = xảy ra thì dự đoán $a=b=c$
Khi đó $\dfrac{a^3}{(b+c)^2}=\dfrac{a}{4}$ và cũng là để mất mẫu thì ta cho dấu = xảy ra khi $\dfrac{a^3}{(b+c)^2}=\dfrac{b+c}{8}$
\Rightarrow Xét bộ số $\dfrac{a^3}{(b+c)^2} ;\dfrac{b+c}{8};\dfrac{b+c}{8}$ cũng là để làm mấy cái bậc $3$ của $a^3$

tt \Rightarrow dpcm

 

[hien_vuthithanh]

Cho a,b,c > 0 thỏa $a^2+b^2+c^2 = 1$ . CMR:

$A = \dfrac{a^3}{b+2c}+\dfrac{b^3}{c+2a}+\dfrac{c^3}{a+2b} \ge \dfrac{1}{3}$

Cách khác : Dùng Cosi truyền thống

$\dfrac{a^3}{b+2c}+ \dfrac{a^3}{b+2c}+\dfrac{(b+2c)^2}{27}\ge a^2$

TT \Rightarrow $2\sum\dfrac{a^3}{b+2c}+ \dfrac{5}{27}\sum a^2 + \dfrac{4}{27}\sum ab\ge \sum a^2$

\Leftrightarrow $2\sum\dfrac{a^3}{b+2c}\ge \dfrac{22}{27}\sum a^2- \dfrac{4}{27}\sum ab \ge \dfrac{22}{27}\sum a^2- \dfrac{4}{27}\sum a^2=\dfrac{2}{3}\sum a^2=\dfrac{2}{3}$

\Rightarrow $\sum\dfrac{a^3}{b+2c}\ge \dfrac{1}{3}$