Cho (C) là đồ thị hàm số [TEX]y = \frac{{x^2 - x + 1}}{{x - 1}}[/TEX]. Tìm những điểm trên trục tung mà từ đó vẽ được ít nhất một tiếp tuyến đến (C).
[TEX]y = \frac{x^2-x+1}{x-1} = x + \frac{1}{x-1}[/TEX]
có tập xác định D = R \ {1}
khi đó: [TEX]y' = 1 - \frac{1}{(x-1)^2}[/TEX]
Điểm cần tìm có dạng A(0; a).
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d qua A. Khi đó d có phương trình
y = kx + a.
Ta có d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi
[TEX]\left\{ \begin{array}{l} kx + a = x + \frac{1}{x-1} (1) \\ k = 1 - \frac{1}{(x-1)^2} \end{array} (2) \right.[/TEX]
Từ (2) ==> k < 1
Biến đổi (1)
[TEX]kx + a = x + \frac{1}{x-1}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow k(x-1) + k + a -1 = x-1 + \frac{1}{x-1}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow k + \frac{k + a -1}{x-1} = 1 + \frac{1}{(x-1)^2}[/TEX]
( vì x-1 khác 0)
[TEX]\Leftrightarrow k + \frac{k + a -1}{x-1} = 1 + 1 - k[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{2 - 2k}{k+a-1} = \frac{1}{x-1}[/TEX]
Thế vào (2)
[TEX]1 - k = \frac{4(1-k)^2}{(k+a-1)^2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 1 = \frac{4(1-k)}{k+a-1}[/TEX]
( vì k <1)
[TEX]\Leftrightarrow k^2 + 2ak +a^2 -2a-5 =0 (*)[/TEX]
Để vẽ được ít nhất 1 tiếp tuyến qua A tới (C) thì (*) phải có nghiệm.
[TEX]\Leftrightarrow a^2 - a^2 + 2a - 5 > 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a > \frac{5}{2}.[/TEX]
Vậy những điểm cần tìm có dạng (0;a) với a > 5/2
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn