phương trình quy về phương trình bậc hai

[ngoc1thu2]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho phương trình : $x^3+ax^2+bx+c=0$, với a,b,c thuộc Z. Gọi $x_o$ là nghiệm hữu tỉ .Chứng tỏ $x_o$ là số nguyên và c chia hết cho xo.
2.Tìm m để nghiệm phương trình $x^4+2x^2+2mx +(m+1)^2=0$ đạt giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất.
3. Giả sử phương trình $x^4+ax^3+bx^2+cx+1=0$ có nghiệm .Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của $A=a^2+b^2+c^2$

 

[thinhrost1]

3) Nhận thấy x=0 không là nghiệm chia phương trình cho $x^2$

$x^2+ax+b+\dfrac{c}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0$

\Leftrightarrow $x^2+\dfrac{1}{x^2}=-(ax+b+\dfrac{c}{x})$ \leq $|(ax+b+\dfrac{c}{x})|$ \leq $\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(x^2+1+\dfrac{1}{x^2})} $ (bất đẳng thức Bunhiakovsky)

\Rightarrow $(a^2+b^2+c^2)$ \geq $\dfrac{(x^2+\dfrac{1}{x^2})^2}{x^2+1+\dfrac{1}{x^2}} $
Ta có: $\dfrac{(x^2+\dfrac{1}{x^2})^2}{x^2+1+\dfrac{1}{x^2}} $ \geq $\dfrac{4}{3}$

Thật vậy điều này tương đương với: $(x^2+\dfrac{1}{x^2}-2)(3(x^2+\dfrac{1}{x^2})+2)$ \geq 0 (Do theo bất đẳng thức AM-GM$ x^2+\dfrac{1}{x^2}$ \geq 2) và $(2(x^2+\dfrac{1}{x^2})+9) >0$ )
Vậy giá trị nhỏ nhất của $a^2+b^2+c^2=\dfrac{4}{3}$ Khi x=1 mà khi x=1 thì tổng các hệ số bằng 0 \Rightarrow ....