Bài 1: Chứng minh rằng tồn tại vô hạn các số nguyên dương a,b sao cho 2a^2 - 3a + 1 = 3b^2 + b
Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: (n+1)^7 - n ^7 - 1 là số chính phương
Bài 3: Giả sử p là số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn bộ 4 số nguyên dương đôi một khác nhau (x; y; z; t) sao cho (x^2 + pt^2)(y^2 + pt^2)(z^2 + pt^2) là số chính phương
Mình cảm ơn mọi người nhiều ạ
Xin phép giải thử bài Pell, thật sự là lần đầu tiên mình đọc thử nên là mong bạn góp ý, mình xin sài các kết quả của Phương Trình Pell
Bài 1:
a,b nguyên dương thỏa mãn [TEX]2a^2-3a+1 = 3b^2 + b [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3b^2 + b - (2a^2-3a+1) =0 [/TEX]
[TEX]\Delta = 24a^2 -36a + 13=\frac{3(4a-3)^2 - 1}{2} [/TEX]
Nghiệm phương trình có dạng [TEX]b = \frac{-1 \pm \sqrt{\Delta}}{6} [/TEX]
Khi đó [TEX]\Delta[/TEX] là số chính phương chia 6 dư 1
Đặt [TEX]\Delta =c^2 \Rightarrow 3(4a-3)^2 - 1 = 2c^2 \\ \Leftrightarrow (2c)^2 - 6(4a-3)^2 = - 2 [/TEX]
Giờ đặt lại đưa về dạng pell nhé, [TEX]2c=x;4a-3=y[/TEX]
Vì c chia 6 dư 1 hoặc -1 nên x chia 6 dư 2 hoặc -2 ; y chia 4 dư 1 sẽ thỏa mãn
[TEX]\Leftrightarrow x^2 - 6y^2 =-2[/TEX] (xét x,y không âm)
Ta nhận thấy [TEX]x=5; y=2 [/TEX] là nghiệm nhỏ nhất nguyên dương của phương trình Pell liên kết với nó
Nên xét các số [TEX]\beta[/TEX] nguyên dương thỏa mãn [TEX]\beta^2 \leq max(-2.2^2;\frac{2.5^2}{6}) =\frac{4}{3}[/TEX]
Suy ra [TEX]\beta = 1 \Rightarrow \alpha = 2 [/TEX] hoặc [TEX]\beta = 2 [/TEX] (loại)
Khi đó Phương trình sẽ có dãy nghiệm như sau:
[TEX]x_0=2,y_0 = 1 ;x_{n+1} = 5x_n + 12y_n ; y_{n+1} = 2x_n +5 y_n [/TEX]
Dễ thấy [TEX]x_0 [/TEX] chia 6 dư 2 -> [TEX]x_1 [/TEX]chia 6 dư -2 -> [TEX]x_n [/TEX] chia 6 dư 2 hoặc -2 (thỏa mãn luôn)
Lại thấy [TEX]y_0[/TEX] chia 4 dư 1 -> [TEX]y_1[/TEX] chia 4 dư 1 (do x luôn chẵn) -> [TEX]y_n[/TEX] chia 4 dư 1 (thỏa mãn)
Vậy pt có vô số nghiệm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
