Không mất tính tổng quát, giả sử [tex]z=min\{x;y;z\}[/tex]
TH1: [tex]z \geq 2 \Rightarrow x;y \geq 2 \Rightarrow x^y+y^z+z^x \geq x^2+y^2+z^2[/tex]
[tex]\Rightarrow x(2-x)+y(2-y)+z(2-z) \geq 0 \Rightarrow x=y=z=2[/tex]
TH2: [tex]z=1 \Rightarrow x^y+y+1=2x+2y+2 \Rightarrow x^y=2x+y+1[/tex] (*)
Với x=1; y=1 đều không thỏa mãn [tex]\Rightarrow x;y \geq 2[/tex]
Nếu [tex]y > 3 \Rightarrow y \geq 4 \Rightarrow y-3\geq 1[/tex], áp dụng BĐT Bernoulli:
[tex]x^y \geq 2^y=8.2^{y-3}\geq 8(2(y-3)-(y-3)+1)=8y-16[/tex] (1)
Mặt khác [tex]x^y-2x=y+1 \Rightarrow x(x^{y-1}-2)=y+1 \Rightarrow y+1[/tex] chia hết cho x [tex]\Rightarrow y+1 \geq x \Rightarrow x^y=2x+y+1 \leq 2(y+1)+y+1=3y+3[/tex] (2)
(1);(2) [tex]\Rightarrow 3y+3 > 8y-16 \Rightarrow 5y < 19[/tex] trái ngược giả thiết [tex]y \geq 4[/tex]
[tex]\Rightarrow y \leq 3[/tex]
Bây giờ chỉ cần kiểm tra với [tex]y=2;3[/tex] (thay vào (*) giải phương trình ẩn x bậc 2, 3 bấm máy là được)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
