Lời giải có hơi dài... Chưa nghĩ đc cách nào gọn hơn
Dễ thấy, nếu $(a,b)$ là một nghiệm của phương trình thì $(a,-b)$ cũng là một nghiệm của phương trình
Nên ta chỉ xét $b\ge 0$
Nếu $a=0$ thì $b=0$
Nếu $a>0$ thì ta có:
$b^2=a^4+280a>a^4$
$\Rightarrow b>a^2 \Rightarrow b=a^2+x$ $(x\in \mathbb{N^*})$
Khi đó, $(a^2+x)^2=a^4+280a$ $\Leftrightarrow a^4+2xa^2+x^2=a^4+280a$
$\Leftrightarrow 2xa^2-280a+x^2=0$
$\Rightarrow \Delta ^{'}=140^2-2x^3 \ge 0$
$\Leftrightarrow x<22$
Gọi $a_1;a_2$ là hai nghiệm của phương trình trên. Theo định lý Viet,
[tex]\left\{\begin{matrix} a_1+a_2=\frac{140}{x}\in \mathbb{N}^{*}\\a_1 \cdot a_2=\frac{x}{2}\in \mathbb{N}^{*} \end{matrix}\right.[/tex]
Suy ra $x \in {2;4;10;14;20}$
Xét các thể loại $x$ chỉ có $x=20$ thì phương trình có nghiệm nguyên là $a=5( a \neq 2)$
Khi đó, $b=a^2+x=45$
Nếu $a>0$ thì ta có:
$b^2=a^4+280a<a^4$
$\Rightarrow b<a^2 \Rightarrow b=|a^2-x|$ $(x\in \mathbb{N^*})$
Khi đó, $(a^2-x)^2=a^4+280a$ $\Leftrightarrow a^4-2xa^2+x^2=a^4+280a$
$\Leftrightarrow 2xa^2+280a-x^2=0$
$\Rightarrow \Delta ^{'}=140^2+2x^3 \ge 0$(Luôn đúng với mọi $x>0$)
Gọi $a_1;a_2$ là hai nghiệm của phương trình trên. Theo định lý Viet,
[tex]\left\{\begin{matrix} a_1+a_2=\frac{-140}{x}\in \mathbb{N}^{*}\\a_1 \cdot a_2=\frac{-x}{2}\in \mathbb{N}^{*} \end{matrix}\right.[/tex]
Suy ra $x \in {2;4;10;14;20;28;70;140}$
Xét các thể loại $x$ thì có $x=28; x=70$ thì phương trình có nghiệm nguyên là $a=-7;a=5 ( a \neq 2)$
Với $a=-7$ thì $b=|(-7)^2-28|=21$
Với $a=5$ thì $b=|5^2-70|=45$
Phương trình có tập nghiệm $(a;b) \in {(0;0), (5;45), (-7;21)}$
(P/s: Lần đầu sử dụng định lí Viet để giải phương trình nghiệm nguyên =))
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
