Toán 9 Phương trình nghiệm nguyên.

[andrew3629]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng với a, b, c nguyên thỏa mãn [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1[/tex] thì a=b=c=3.
Từ đó suy ra bài toán tổng quát là nếu tổng các phân số có tử số bằng 1 cùng với mẫu số nguyên bằng 1 thì các mấu số bằng nhau.
Giúp mình bài này với. Cảm ơn.

 

[TranPhuong27]

Không biết bạn lấy đề ở đâu ra nhưng đề sai hoàn toàn rồi.

Đề phải là tìm nghiệm nguyên dương [TEX]a,b,c[/TEX] biết [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1[/TEX] và phương trình này có nhiều hơn [TEX]1[/TEX] nghiệm.

Lời giải:

Không giảm tổng quát, giả sử [tex]a \geq b \geq c > 0[/tex]

Khi đó: [tex]1=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq \frac{3}{c} \Leftrightarrow 1 \leq c \leq 3[/tex]

TH1: [tex]c=1 \Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=0[/tex] ( loại )

TH2: [tex]c=2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \leq \frac{2}{b} \Leftrightarrow 1 \leq b \leq 4[/tex]

[tex]\Rightarrow (a;b)=(6;3),(4;4)[/tex]

TH3: [tex]c=3 \Leftrightarrow \frac{2}{3}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \leq \frac{2}{b} \Leftrightarrow 1 \leq b \leq 3[/tex]

Lại có [tex]b \geq c=3 \Rightarrow b=3 \Rightarrow a=3[/tex]

Vậy tập nghiệm của phương trình là [TEX](a;b;c)=(3;3;3),(6;3;2),(4;4;2)[/TEX] và các hoán vị tương ứng.