Toán 8 Phương trình nghiệm nguyên

[02-07-2019.]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn:
[tex]5x^2+8y^2=20412[/tex]
Cho em xin hướng làm và lời giải ạ.
Em cảm ơn.

 

[iiarareum]

[tex]8y^2\vdots 8,20412[/tex] chia 8 dư 4 nên [TEX]5x^2[/TEX] chia 8 dư 4.
Mà [TEX]x^2[/TEX] chia 8 dư 0,1,4 nên vô lí.
Vậy vô nghiệm.

Phương trình có nghiệm [tex]x=+-54[/tex] và [tex]y=+-27[/tex] ????

 

[02-07-2019.]

[tex]8y^2\vdots 8,20412[/tex] chia 8 dư 4 nên [TEX]5x^2[/TEX] chia 8 dư 4.
Mà [TEX]x^2[/TEX] chia 8 dư 0,1,4 nên vô lí.
Vậy vô nghiệm.

Anh sai rồi ạ:
[tex]x^2[/tex] chia 8 dư 4 => [tex]5x^2[/tex] chia 8 dư 4

 

[7 1 2 5]

Đặt [tex]|x|=a,|y|=b[/tex](đặt cho gọn thôi).
Bổ đề: Nếu [tex]m^2+n^2\vdots 3[/tex] thì [TEX]m,n \vdots 3[/TEX](chứng minh bằng xét số dư)
Ta có: [tex]5a^2+8b^2=20412\vdots 3\Rightarrow 3(2a^2+3b^2)-(a^2+b^2)\vdots 3\Rightarrow a^2+b^2\vdots 3[/tex]
Từ đó [tex]a,b\vdots 3[/tex]. Đặt [tex]a=3a_1,b=3b_1\Rightarrow 5.9a_1^2+8.9b_1^2=20412\Rightarrow 5a_1^2+8b_1^2=2268\vdots 3\Rightarrow a_1^1+b_1^2\vdots 3\Rightarrow a_1,b_1\vdots 3[/tex]
Đặt [tex]a_1=3a_2,b_1=3b_2\Rightarrow 5.9a_2^2+8.9b_2^2=2268\Rightarrow 5a_2^2+8b_2^2=252\vdots 3\Rightarrow a_2^2+b_2^2\vdots 3\Rightarrow a_2,b_2\vdots 3[/tex]
Đặt [tex]a_2=3a_3,b_2=3b_3\Rightarrow 5.9a_3^2+8.9b_3^2=252\Rightarrow 5a_3^2+8b_3^2=28[/tex]
Tới đây chặn được [TEX]0 \leq b_3 \leq 1[/TEX]. Thử chọn ta có [TEX]a_3=2,b_3=1 \Rightarrow |x|=54,|y|=27[/TEX]
(Quên kiểm tra bằng Wolfram nên sai sót )

 

[Lê Tự Đông]

Bài 1: Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn:
[tex]5x^2+8y^2=20412[/tex]
Cho em xin hướng làm và lời giải ạ.
Em cảm ơn.

$.....= 6x^{2}+9y^{2} - (x^{2}+y^{2})=20412$
Ta có: 20412 chia hết cho 3
$6x^{2}+9y^{2}$ chia hết cho 3
$x^{2}+y^{2}$ chia hết cho 3
=> x chia hết cho 3 và y chia hết cho 3
Đặt x=3m, y=3n (m,n thuộc N)
=> $.....=5(3m)^{2} + 8(3n)^{2} = 9.(5m^{2} + 8n^{2}) = 20412$
=> $6m^{2} + 9n^{2} - (m^{2}+n^{2}) = 2268$
Mà 2268 chia hết cho 3
=> $m^{2}+n^{2}$ chia hết cho 3
=> m, n chia hết cho 3
Đặt m=3a, n=3b (a,b thuộc Z)
=> $6m^{2} + 9n^{2} - (m^{2}+n^{2}) = 5m^{2}+8n^{2} = 9(5a^{2}+8b^{2})= 2268$
=> $5a^{2}+8b^{2} = 6a^{2}+9b^{2}-(a^{2}+b^{2}=252$
Mà 252 choa hết cho 3
=> a, b chia hết cho 3
Đặt a = 3z, b= 3t
=> $5a^{2}+8b^{2} = 9(5z^{2}+8t^{2}) = 252$
=> $5z^{2} + 8t^{2} = 28$
$z^{2} = \frac{28-8t^{2}}{5} = 5 - t^{2} + \frac{3-3t^{2}}{5} $
Để z nguyên
=> $1-t^{2}$ chia hết cho 5
Mà $t^{2} \leq 3$
=> $-1 \leq t \leq 1$
=> t =1 và t=-1
z=2 và z=-2
Rồi tính được x,y