Toán 9 Phương trình nghiệm nguyên

[Minh Tín]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho phương trình sau: [TEX]x^2 + y^2 = 3z^2[/TEX]
Chứng minh rằng phương trình trên chỉ có nghiệm nguyên duy nhất là [TEX](0,0,0)[/TEX]?

 

[7 1 2 5]

Bài này sử dụng phương pháp lùi vô hạn.
Giả sử tồn tại 1 bộ số [tex](x_0,y_0,z_0)[/tex] là nghiệm.
Dễ thấy: [tex]x_0^2+y_0^2=3z_0^2\vdots 3\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_0\vdots 3\\ y_0\vdots 3 \end{matrix}\right.[/tex]
Đặt [tex]x_0=3x_1,y_0=3y_1\Rightarrow 9x_1^2+9y_1^2=3z_0^2\Rightarrow z_0^2=3(x_1^2+y_1^2)\vdots 3\Rightarrow z_0\vdots 3[/tex]
Khi đó [tex]9z_1^2=3(x_1^2+y_1^2)\Rightarrow x_1^2+y_1^2=3z_1^2\Rightarrow (x_1,y_1,z_1)=(\frac{x_0}{3},\frac{y_0}{3},\frac{z_0}{3})[/tex] là nghiệm của phương trình. Cứ như vậy ta thấy phương trình có vô số nghiệm dạng [tex](\frac{x_0}{3^n},\frac{y_0}{3^n},\frac{z_0}{3^n})[/tex]. Theo nguyên lí lùi vô hạn ta có (0,0,0) là bộ nghiệm duy nhất.