Toán 9 Phương trình nghiệm nguyên

[Hồng Vânn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a, Tìm x,y thuộc Z sao cho: [tex]2x^3+2x^2y+x^2+2xy=x+10[/tex]
b, Cho n nguyên dương thỏa mãn [tex]2+2\sqrt{12n^2+1} \epsilon Z[/tex]
CMR: [tex]2+2\sqrt{12n^2+1}[/tex] là số chính phương.
c, Tìm m,n nguyên dương sao cho: [tex]n^2+n+2011=(m^4+m-2013)(m^4-m+2015)[/tex] ( câu này mình không ghi rõ đề, có thể là 2015 --> 215 )
@who am i? , @Mộc Nhãn , @thaohien8c , ....

 

[7 1 2 5]

a)Đưa về phương trình ước số [tex]x(x+1)(2x+2y-1)=10[/tex]
b)Đặt [tex]12n^2+1=(2t+1)^2(t\in \mathbb{N})[/tex]
Lập luận để được t là số chính phương [tex]\Rightarrow 2+2\sqrt{12n^2+1}=2+2(2k-1)=4k[/tex] là số chính phương

 

[Hanhh Mingg]

2) Đặt A= [tex]2+2\sqrt{12n^2+1}[/tex]
Với mọi n nguyên dương thì [tex]12n^2+1\epsilon \mathbb{N}\Rightarrow \sqrt{12n^2+1}\epsilon \mathbb{I} hoặc \sqrt{12n^2+1}\epsilon \mathbb{N}[/tex]
Nếu \sqrt{12n^2+1}\epsilon \mathbb{I} thì A là số vô tỉ, trái với giả thiết
Vậy \sqrt{12n^2+1}\epsilon \mathbb{N}
Lại có [tex]12n^2+1[/tex] là số chính phương lẻ nên tồn tại k [tex]\epsilon \mathbb{N}^*[/tex] sao cho [tex]12n^2+1=(2k+1)^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 12n^2=(2k+1)^2 -1\Leftrightarrow 12n^2=2k.2(k+1)\Leftrightarrow3n^2=k(k+1)\Rightarrow k\vdots 3[/tex] hoặc [tex]k+1\vdots 3[/tex]
+) Nếu k chia hết cho 3 [tex]\Rightarrow \frac{k}{3}(k+1)=n^2[/tex]
Với k thuộc N thì [tex]\frac{k}{3};k+1\epsilon \mathbb{N}[/tex]
Gọi ƯC ([tex]\frac{k}{3};k+1[/tex]) = d (d thuộc N^*)
[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{k}{3}\vdots d & \\ k+1\vdots d & \end{matrix}\right.[/tex] [tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} k\vdots d & \\ k+1\vdots d& \end{matrix}\right.[/tex] <=> 1 chia hết cho d => d=1
=> [tex]\frac{k}{3};k+1[/tex] là 2 số nguyên dương nguyên tố cùng nhau
Khi đó tồn tại c,d thuộc N^* sao cho [tex]\frac{k}{3}=c^2;k+1=d^2\Rightarrow 3c^2+1=d^2[/tex] (luôn đúng)
[tex]\Rightarrow A= 2+ 2\sqrt{(2k+1)^2}=2+2(2k+1)=2+4k+2=4(k+1)=4d^2[/tex] là số chính phương
Giải tương tự với TH còn lại

2) Đặt A= [tex]2+2\sqrt{12n^2+1}[/tex]
Với mọi n nguyên dương thì [tex]12n^2+1\epsilon \mathbb{N}\Rightarrow \sqrt{12n^2+1}\epsilon \mathbb{I} hoặc \sqrt{12n^2+1}\epsilon \mathbb{N}[/tex]
Nếu \sqrt{12n^2+1}\epsilon \mathbb{I} thì A là số vô tỉ, trái với giả thiết
Vậy \sqrt{12n^2+1}\epsilon \mathbb{N}
Lại có [tex]12n^2+1[/tex] là số chính phương lẻ nên tồn tại k [tex]\epsilon \mathbb{N}^*[/tex] sao cho [tex]12n^2+1=(2k+1)^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 12n^2=(2k+1)^2 -1\Leftrightarrow 12n^2=2k.2(k+1)\Leftrightarrow3n^2=k(k+1)\Rightarrow k\vdots 3[/tex] hoặc [tex]k+1\vdots 3[/tex]
+) Nếu k chia hết cho 3 [tex]\Rightarrow \frac{k}{3}(k+1)=n^2[/tex]
Với k thuộc N thì [tex]\frac{k}{3};k+1\epsilon \mathbb{N}[/tex]
Gọi ƯC ([tex]\frac{k}{3};k+1[/tex]) = d (d thuộc N^*)
[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{k}{3}\vdots d & \\ k+1\vdots d & \end{matrix}\right.[/tex] [tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} k\vdots d & \\ k+1\vdots d& \end{matrix}\right.[/tex] <=> 1 chia hết cho d => d=1
=> [tex]\frac{k}{3};k+1[/tex] là 2 số nguyên dương nguyên tố cùng nhau
Khi đó tồn tại c,d thuộc N^* sao cho [tex]\frac{k}{3}=c^2;k+1=d^2\Rightarrow 3c^2+1=d^2[/tex] (luôn đúng)
[tex]\Rightarrow A= 2+ 2\sqrt{(2k+1)^2}=2+2(2k+1)=2+4k+2=4(k+1)=4d^2[/tex] là số chính phương
Giải tương tự với TH còn lại

1) [tex]2x^3+2x^2y+x^2+2xy=x+10[/tex] [tex]\Leftrightarrow 2xy(x+1)+2x^2(x+1)-x(x+1)=10\Leftrightarrow (x+1)(2xy+2x^2-x)=10[/tex]
P/s: Bổ sung thêm bài 1 nè

 

[Hồng Vânn]

a)Đưa về phương trình ước số [tex]x(x+1)(2x+2y-1)=10[/tex]
b)Đặt [tex]12n^2+1=(2t+1)^2(t\in \mathbb{N})[/tex]
Lập luận để được t là số chính phương [tex]\Rightarrow 2+2\sqrt{12n^2+1}=2+2(2k-1)=4k[/tex] là số chính phương

2) Đặt A= [tex]2+2\sqrt{12n^2+1}[/tex]
Với mọi n nguyên dương thì [tex]12n^2+1\epsilon \mathbb{N}\Rightarrow \sqrt{12n^2+1}\epsilon \mathbb{I} hoặc \sqrt{12n^2+1}\epsilon \mathbb{N}[/tex]
Nếu \sqrt{12n^2+1}\epsilon \mathbb{I} thì A là số vô tỉ, trái với giả thiết
Vậy \sqrt{12n^2+1}\epsilon \mathbb{N}
Lại có [tex]12n^2+1[/tex] là số chính phương lẻ nên tồn tại k [tex]\epsilon \mathbb{N}^*[/tex] sao cho [tex]12n^2+1=(2k+1)^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 12n^2=(2k+1)^2 -1\Leftrightarrow 12n^2=2k.2(k+1)\Leftrightarrow3n^2=k(k+1)\Rightarrow k\vdots 3[/tex] hoặc [tex]k+1\vdots 3[/tex]
+) Nếu k chia hết cho 3 [tex]\Rightarrow \frac{k}{3}(k+1)=n^2[/tex]
Với k thuộc N thì [tex]\frac{k}{3};k+1\epsilon \mathbb{N}[/tex]
Gọi ƯC ([tex]\frac{k}{3};k+1[/tex]) = d (d thuộc N^*)
[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{k}{3}\vdots d & \\ k+1\vdots d & \end{matrix}\right.[/tex] [tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} k\vdots d & \\ k+1\vdots d& \end{matrix}\right.[/tex] <=> 1 chia hết cho d => d=1
=> [tex]\frac{k}{3};k+1[/tex] là 2 số nguyên dương nguyên tố cùng nhau
Khi đó tồn tại c,d thuộc N^* sao cho [tex]\frac{k}{3}=c^2;k+1=d^2\Rightarrow 3c^2+1=d^2[/tex] (luôn đúng)
[tex]\Rightarrow A= 2+ 2\sqrt{(2k+1)^2}=2+2(2k+1)=2+4k+2=4(k+1)=4d^2[/tex] là số chính phương
Giải tương tự với TH còn lại


1) [tex]2x^3+2x^2y+x^2+2xy=x+10[/tex] [tex]\Leftrightarrow 2xy(x+1)+2x^2(x+1)-x(x+1)=10\Leftrightarrow (x+1)(2xy+2x^2-x)=10[/tex]
P/s: Bổ sung thêm bài 1 nè

Sao TH mình giải không ra được vậy?
Phiền hai cậu giải rõ giúp mình được không ?
Cảm ơn ạ!

 

[7 1 2 5]

Ta thấy :[tex]k(k+1)=3n^2[/tex], k và k+1 nguyên tố cùng nhau nên có 2TH:
+[tex]k=u^2;k+1=3v^2\Rightarrow 3v^2-1=u^2[/tex] chia 3 dư 2(loại)
+[tex]k=3u^2,k+1=v^2[/tex]
Thay vào ta có đpcm.