T
Tìm nghiệm nguyên của phương trình.
$3^x+4^y=5^z$
Khó quá đi....
Giải cả buổi chưa ra.
....
...
....
..
Giúp
hế bạn đã học đông dư thức chưa?Nếu bạn học rồi đây:
Dễ dàng nhận thấy:[tex]5^{z}=3^{x}+4^{y}\equiv 1(mod4)[/tex] mà[tex]4^{y}\vdots 4[/tex] =>[tex]3^{x}\equiv 1(mod4)[/tex] =>[tex]x=2k(k\in Z)[/tex]
Ta lại có:[tex]3^{x}+4^{y}\equiv 1(mod3)[/tex] =>[tex]5^{z}\equiv 1(mod3)[/tex] =>[tex]z=2q(q\in Z)[/tex].
=> [tex]3^{2k}+4^{y}=5^{2q}[/tex] =>[tex](5^{q}-3^{k})(5^{q}+3^{k})=4^{y}=2^{2y}[/tex].
Đặt [tex]a+b=2y(a< b)[/tex] =>[tex]\left\{\begin{matrix} 5^{q}-3^{k}=2^{a}\\ 5^{q}+3^{k}=2^{b} \end{matrix}\right.[/tex].
Trừ 2 vế cho nhau ta có:[tex]2.3^{k}=2^{b}-2^{a}=2^{a}(2^{b-a}-1)=0[/tex] =>[tex]a=1[/tex] để [tex]2^{a}(2^{b-a}-1)[/tex] chia hết cho 2.
=> [tex]5^{q}-3^{k}=2[/tex] =>[tex]5^{q}=3^{k}+2\equiv 5(mod8)[/tex].
Cộng 2 vế phương trình trước đó ta có: [tex]5^{q}=\frac{2^{b}+2}{2}=2^{b-1}+1[/tex].
=> [tex]2^{b-1}+1\equiv 5(mod8)[/tex] =>[tex]2^{b-1}\equiv 4(mod8)[/tex]=> [tex]b-1=2[/tex] => [tex]b=3[/tex].
=>[tex]a+b=1+3=2y[/tex] =>[tex]y=2[/tex].
Ta có:[tex]5^{q}=2^{b-1}+1=5[/tex] =>[tex]a=1[/tex] =>[tex]z=2[/tex]
=>[tex]5-3^{k}=2[/tex] =>[tex]k=1[/tex] =>[tex]x=2[/tex]
Vậy [tex]x=y=z=2[/tex] (t/m đ/k)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
