phương trình nghiệm nguyên

[tiendungst_1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.$x(x^2+x+1)=4y(y+1)$

2.$(x-2)^4-x^4=y^3$
------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

[transformers123]

bài 1:

$x(x^2+x+1)=4y(y+1)$

$\iff (x^2+1)(x+1)=(2y+1)^2$

vì $2y+1$ là số lẻ nên $x^2+1$ và $x+1$ là số lẻ

đặt $(x^2+1;x+1)=d$ (ĐK: $d$ lẻ)

Lại có:

$x+1\ \vdots\ d \rightarrow x^2-1\ \vdots\ d$ mà $x^2+1\ \vdots\ d$

nên $2\ \vdots\ d \rightarrow d=1$ (vì $d$ lẻ)

vậy $(x^2+1;x+1)=1$, nên $x^2+1$ và $x+1$ là hai số chính phương

taq có: $x^2$ là số chính phương mà $x^2+1$ cũng là số chính phương nên $x$ chỉ

có thể bằng $0$

$\Longrightarrow y=0$

vậy pt trên có tập nghiệm là $(x;y)=(0;0)$

Nguồn: Google=))

 

[tanngoclai]

Bài 2 :

$(x-2)^4 - x^4 = y^3 \iff 8(x-1)(x^2-2x+2) = y^3 \iff (x-1)(x^2-2x+2) = n^3 \ ( n \in N; \ y=2n)$

Mặt khác, dễ dàng chứng minh được : $(x-1;x^2-2x+2)=1$

$ ⟹ x-1 = a^3; \ x^2-2x+2=b^3 \ (a;b \in N )$

$⟹ a^6 + 1 = b^3 $

Lại có : $3a^2(a^2+1) \ge 0$

$⟹ a^6 < b^3 \le (a^2+1)^3$

Mà $a;b \in N$ và $a^6;(a^2+1)^3$ là 2 lập phương liên tiếp :

$⟹ b^3 = (a^2+1)^3 \iff 3a^2(a^2+1) =0 \iff x-1 = a = 0 \iff x=1 \iff y=0$

Vậy cặp nghiệm nguyên của phương trình là $(x;y)=(1;0)$