Lời giải trên VMF
Lời giải. Vì n $\ge$ 0 nên $(n^2+1)^{2^k}\cdot(44n^3+11n^2+10n+2)$ $\ge$ 2. Như vậy ta sẽ có m $\ne$ 0 (vì với m=0 thì $N^m=1$, mâu thuẫn). Cũng từ đó ta suy ra N $\ge$ 2.
Giả sử rằng m>1. Dễ dàng nhận thấy với mọi n $\in \mathbb{N}$ thì ta luôn có N chẵn. Lại vì m>1 nên $N^m$ $\equiv$ 0 $\pmod{4}$.
Đặt $N=2^x \cdot$ y với x,y $\in \mathbb{N}^*, \; (2,y)=1$. Phương trình (1) trở thành $(n^2+1)^{2^k}\cdot(44n^3+11n^2+10n+2) = 2^{xm} \cdot y^m$ $\qquad$ (2)
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1. Nếu n lẻ thì n $\equiv$ 1 $\pmod{2}$ và $44n^3+11n^2+10n+2$ lẻ. Do đó $n^2$ $\equiv$ 1 $\pmod{4}$ \Rightarrow $n^2+1$ $\equiv$ 2 $\pmod{4}$. Ta đặt $n^2+1=2z$ với z $\in \mathbb{N}^*, \; z \equiv 1 \pmod{2}$. Khi đó (2) trở thành $2^{2^k}$ $\cdot$ $z^{2^k}$ $\cdot$ $(44n^3+11n^2+10n+2)= 2^{xm}$ $\cdot$ $y^m$ $\qquad$ (3)
Vì $z, 44n^3+11n^2+10n+2$, y lẻ nên ta phải có $2^{2^k}=2^{ym}$ \Leftrightarrow $2^k=ym$. Vì m>1 nên m sẽ chẵn. Do đó $N^m=2^{xm}$ $\cdot$ $y^m$ là một số chính phương. Lại có $2^{2^k}$ $\cdot z^{2^k}$ cũng là số chính phương nên ta suy ra $44n^3+11n^2+10n+2$ phải là số chính phương. Điều này hiển nhiên mâu thuẫn vì $44n^3+11n^2+10n+2$ $\equiv$ $-n^2+2n+2 \equiv 3-(n-1)^2$ $\equiv$ 2,3 $\pmod{4}$.
Trường hợp 2. Nếu n chẵn thì $44n^3+11n^2+10n+2$ $\equiv$ 2 $\pmod{4}$ và $n^2+1$ $\equiv$ 1 $\pmod{4}$ nên VT $\equiv$ 2 $\pmod{4}$. Trong khi đó $N^m$ $\equiv$ 0 $\pmod{4}$, mâu thuẫn.
Vậy $\boxed{m=1}$.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
topic sẽ được mở vào 0h00' ngày 6/1/2014