phương trình nghiệm nguyên

[lehanh_98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm mọi nghiệm nguyên dương của phương trình sau:

x^1994+y^1994 = 4691^4691(x+y)



(thật sự bài này rất khó, em không thể nào giải được)

 

[king_wang.bbang]

Tìm mọi nghiệm nguyên dương của phương trình sau:

x^1994+y^1994 = 4691^4691(x+y)



(thật sự bài này rất khó, em không thể nào giải được)

Bài này cần sử dụng bổ đề sau:

Cho p là 1 số nguyên tố dạng 4k+3.

Điều kiện cần để ${a^2} + {b^2} \vdots p(a,b \in Z)$ là $a \vdots p$ và $b \vdots p$

Nhận thấy:4691 là số nguyên tố dạng 4k+3.(1)

Xem lại đề bài: ${x^{1994}} + {y^{1994}} = {4691^{4691}}(x + y)$(*)

Theo (1): $({x^{1994}} + {y^{1994}}) \vdots 4691$

Áp dụng bổ đề:${x^{997}} \vdots 4691\& {y^{997}} \vdots 4691$

Từ (1) lại có:$x \vdots 4691\& y \vdots 4691$

Suy ra x và y có dạng

$x = 4691a,y = 4691b(a;b \in N*)$

Thay vào (*), được:

${4691^{1994}}({a^{1994}} + {b^{1994}}) = {4691^{4691}}.4691(a + b)$

\Leftrightarrow ${a^{1994}} + {b^{1994}} = {4691^{2698}}(a + b)(2)$

Tới đây lí luận tương tự trên, ta có:

$a = 4691c,b = 4691d(c;d \in N*)$

Thay vào (2):

${c^{1994}} + {d^{1994}} = {4691^{705}}(c + d)(3)$

Tiếp tục lí luận tương tự:

$c = 4691u;d = 4691v(u;v \in N*)$

Thay vào (3):

${4691^{1288}}({u^{1994}} + {v^{1994}}) = u + v (4)$

Vì $u;v \in N*$ \Rightarrow ${u^{1994}} + {v^{1994}} \ge u + v > 0$

\Rightarrow ${4691^{1288}}({u^{1994}} + {v^{1994}}) > u + v$

Vậy (4) vô nghiệm nguyên dương \Rightarrow * đã cho vô nghiệm nguyên dương

 

[king_wang.bbang]

Ta dùng phản chứng. Giả sử $a$ và $b$ không đồng thời chia hết cho $p$. Ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1. Nếu a chia hết cho p, b ko chia hết cho p
\Rightarrow ${a^2} + {b^2}$ ko chia hết cho p (trái gt)

Trường hợp 2. Nếu a ko chia hết cho p, b chia hết cho p
tương tự trên \Rightarrow trái gt

Trường hợp 3. Nếu $a \vdots p,b \vdots p$
Vì p là số nguyên tố nên theo định lí Fermat nhỏ, ta có:
${a^{p - 1}} \equiv 1(\bmod p)$
${b^{p - 1}} \equiv 1(\bmod p)$

\Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}
{a^{4k + 2}} \equiv 1(\bmod p)\\
{b^{4k + 2}} \equiv 1(\bmod p)
\end{array} \right.$

\Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}
{({a^2})^{2k + 1}} \equiv 1(\bmod p)\\
{({b^2})^{2k + 1}} \equiv 1(\bmod p)
\end{array} \right.$

\Rightarrow ${({a^2})^{2k + 1}} + {({b^2})^{2k + 1}} \equiv 2(\bmod p)$

Do p có dạng 4k+3 nên p>2
\Rightarrow ${({a^2})^{2k + 1}} + {({b^2})^{2k + 1}}$ không chia hết cho p (*)
Mà: ${({a^2})^{2k + 1}} + {({b^2})^{2k + 1}} \vdots {a^2} + {b^2} \vdots p$
\Rightarrow Mâu thuẫn vs (*)
Vậy giả thiết phản chứng sai