Phương trình nghiệm nguyên

[flames.of.desire]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Tìm các số nguyên dương thỏa mãn : 2(y+z)= x(yz - 1)
Bài 2: Cho x, y ,z là 3 số nguyên liên tiếp. Chứng minh phương trình [TEX]x^3+y^3+z^3=2013[/TEX]
Bài 3: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức [TEX]x^2+xy+y^2=x^2y^2[/TEX]

 

[pe_lun_hp]

Bài 4: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức [TEX]x^2+xy+y^2=x^2y^2[/TEX]

$x^2+xy+y^2=x^2y^2$

\Leftrightarrow $4(x^2 + xy + y^2) = 4x^2y^2$

\Leftrightarrow $(2x + y)^2 = y^2(4x^2 -3)$

Với y=0 \Rightarrow x=0

Với $y \neq 0$

Đặt $4x^2 - 3=k^2$

\Leftrightarrow $(2x - k)(2x +k)=3 = (-1).(-3)=1.3$

GIẢI hệ nhớ $y \neq 0$

 

[c2nghiahoalgbg]

lược giải này


Bài 3:
Chắc là chứng minh phương trình vô nghiệm bạn nhỉ:
Giả sử x,y,z lần lượt là: 3k, 3k+1, 3k-1 ta có:
$(3k-1)^3+(3k)^3+(3k+1)^3=2013$
Khai triển rút gọn ta được:
$81k^3+18k=2013$
\Leftrightarrow $27k^3+6k=671$
\Leftrightarrow $3(9k^3+2k)=671$
VT: ko chia hết cho 3
VP: chia hết cho 3
\Rightarrow PT vô nghiệm

(*)(*)(*)(*)(*)

 

[c2nghiahoalgbg]

lược giải này

TH1: $z=1$. Ta có 2y+2=x(y-1)\Leftrightarrow y=$\frac{x+2}{x-2}=1+\frac{4}{x-2}$.
Do y nguyên dương nên $\frac{4}{x-2}$=\{4;2;1\}\Leftrightarrow x={3;4;6}.
Vậy ta được các cặp nghiệm x;y;z là (3;5;1);(4;3;1);(6;2;1).
Tương tự với TH $y=1$ ta được các cặp nghiệm x;y;z là (3;1;5);(4;1;3);(6;1;2).

TH2: z\geq 2;y\geq 2
Ta có 2y+2z-yz-4=(y-2)(2-z)\leq 0.
Do vậy 2(y+z)\leq yz+4
Suy ra yz+4\ge x(yz-1). (*)
+ Nếu x=1 thì (*) luôn đúng.
Khi đó 2(y+z)=yz-1\Leftrightarrow (y-2)(2-z)+5=0
Suy ra y=3;z=7 hoặc y=7;z=3.
+ Nếu x=2 Ta có $(*)\Leftrightarrow yz+4\geq 2yz-2\Leftrightarrow yz\leq 6
Mặt khác y\geq 2;z\geq 2 nên yz=4 hoặc yz=6.
Suy ra y=z=2 hoặc y=2;z=3; y=3;z=2.
+ Nếu x\geq 3. Ta có (*)\Rightarrow yz+4\geq 3yz-3\Leftrightarrow yz\leq 3,5 (Vô lý do y\geq 2;z\geq 2 nên yz\ge 4)

KL nghiệm

 

[flames.of.desire]

Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
[TEX]x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2[/TEX]
Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
[TEX]9z^3+3y^3=x^3[/TEX]
Bài 6: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
a, [TEX]1!+2!+3!+.....+x!=y^2[/TEX]
b, [TEX]1!+2!+3!+......+x!=y^3[/TEX]

 

[tranvanhung7997]

Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
[TEX]x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2[/TEX]

Bài 4: [TEX] x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](x^2+3x)(x^2+3x+2)=y^2[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](x^2+3x+1)^2-1=y^2[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](x^2+3x+1)^2-y^2=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](x^2+3x+1+y)(x^2+3x+1-y)=1[/TEX]
Do x, y nguyên \Rightarrow Hoặc[TEX] \left\{\begin{x^2+3x+1+y=1\\x^2+3x+1-y=1 (I)[/TEX] Hoặc [TEX]\left\{\begin{x^2+3x+1+y=-1\\x^2+3x+1-y=-1 (II)[/TEX]
Giải[TEX] (I)[/TEX] \Leftrightarrow [TEX]\left\{\begin{x^2+3x+1+y=1\\2y=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\left\{\begin{y=0\\x^2+3x=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\left\{\begin{y=0\\x(x+3)=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\left\[\begin{x=0 ; y=0\\ x=-3 ; y=0[/TEX]
[TEX](II)[/TEX] giải tương tự
\Rightarrow KL

 

[tranvanhung7997]

Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
[TEX]9z^3+3y^3=x^3[/TEX]

Giải: Đặt [TEX]x=3a \Rightarrow PT \Leftrightarrow 9z^3+3y^3=27a^3[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]3z^3+y^3=9a^3[/TEX]
Đặt [TEX]y=3b[/TEX] \Rightarrow [TEX]3z^3+27b^3=9a^3[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]z^3+9b^3=3a^3[/TEX]
Đặt [TEX]z=3c[/TEX] \Rightarrow [TEX]27c^3+9b^3=3a^3[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]9c^3+3b^3=a^3[/TEX]
Ta thấy[TEX] (x;y;z)=(3a;3b;3c)[/TEX] là nghiệm thì [TEX](a;b;c) [/TEX]cũng là nghiệm.
Theo quy tắc xuống thang thì nghiệm của PT là: [TEX](x;y;z)=(0;0;0)[/TEX]

Phương pháp này goi là:" phương pháp xuống thang" trong giải PT nghiệm nguyên.

 

[flames.of.desire]

Giải: Đặt [TEX]x=3a \Rightarrow PT \Leftrightarrow 9z^3+3y^3=27a^3[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]3z^3+y^3=9a^3[/TEX]
Đặt [TEX]y=3b[/TEX] \Rightarrow [TEX]3z^3+27b^3=9a^3[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]z^3+9b^3=3a^3[/TEX]
Đặt [TEX]z=3c[/TEX] \Rightarrow [TEX]27c^3+9b^3=3a^3[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]9c^3+3b^3=a^3[/TEX]
Ta thấy[TEX] (x;y;z)=(3a;3b;3c)[/TEX] là nghiệm thì [TEX](a;b;c) [/TEX]cũng là nghiệm.
Theo quy tắc xuống thang thì nghiệm của PT là: [TEX](x;y;z)=(0;0;0)[/TEX]

Phương pháp này goi là:" phương pháp xuống thang" trong giải PT nghiệm nguyên.

Thế trong bài thi ta trình bày y chang như thế hả bạn? Mà bài [TEX]4z^3+2y^3-x^3=0[/TEX] cũng làm theo phương pháp xuống thang phải không nhưng trước bước dặt x=3a ta phải nói x chia hết cho 3 :-?

 

[tranvanhung7997]

Thế trong bài thi ta trình bày y chang như thế hả bạn? Mà bài [TEX]4z^3+2y^3-x^3=0[/TEX] cũng làm theo phương pháp xuống thang phải không nhưng trước bước dặt x=3a ta phải nói x chia hết cho 3 :-?

Đi thi chỉ cần trình bày như thế là được điểm tối đa rồi.
Đúng rồi từ PT đầu suy ra được x chia hết 3.( Mình nghĩ dễ các bạn dễ hiểu nên không viết vào)

 

[flames.of.desire]

Đây là các bài tìm nghiệm nguyên của phương trình trong đợt thi tuyển sinh lớp 10 chuyên ĐHQG Hà Nội năm 2005 ; Toán- Tin 2006. Mọi người giúp mình nha!!!
Bài 1: (2005) [TEX]x^2 + 17y^2 + 34xy + 51(x+y) = 1740[/TEX]
Bài 2: (2006) [TEX]8x^2y^2 + x^2 + y^2 = 10xy[/TEX]

Cho mình hỏi muốn tìm [TEX](x-y)^2[/TEX] chia cho 5 dư bao nhiêu thì làm cách nào??? Tương tự nếu nó chia 1 số khác thì sao

 

[tranvanhung7997]

Đây là các bài tìm nghiệm nguyên của phương trình trong đợt thi tuyển sinh lớp 10 chuyên ĐHQG Hà Nội năm 2005 ; Toán- Tin 2006. Mọi người giúp mình nha!!!
Bài 2: (2006) [TEX] 8x^2y^2 + x^2 + y^2 = 10xy[/TEX]

PT \Leftrightarrow [TEX]x^2-2xy+y^2=8xy-8x^2y^2[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](x-y)^2=8xy(1-xy)[/TEX]
Ta có [TEX](x-y)^2[/TEX]\geq0 \Rightarrow [TEX]8xy(1-xy)[/TEX]\geq0
\Leftrightarrow 0 \leq xy \leq 1
Mà x, y nguyên \Rightarrow [TEX]x.y=0[/TEX] hoặc [TEX]x.y=1[/TEX]
\Rightarrow Nghiệm của PT là: (x;y)=(0;a);(a;0);(1;1);(-1;-1) với a là số nguyên bất kì

 

[flames.of.desire]

Đây là các bài tìm nghiệm nguyên của phương trình trong đợt thi tuyển sinh lớp 10 chuyên ĐHQG Hà Nội năm 2005 ; Toán- Tin 2006. Mọi người giúp mình nha!!!
Bài 1: (2005) [TEX]x^2 + 17y^2 + 34xy + 51(x+y) = 1740[/TEX]

Cho mình hỏi muốn tìm [TEX](x-y)^2[/TEX] chia cho 5 dư bao nhiêu thì làm cách nào??? Tương tự nếu nó chia 1 số khác thì sao

Mọi người giúp mình nha chứ còn mấy ngày nữa mình phải thi rồi!