Phương trình nghiệm nguyên

[lequang_clhd]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giải phương trình nghiệm nguyên

$2^x-3^y=1$

.......................................................

 

[minhtuyb]

Gợi ý:
- Xét modulo 4 suy ra $y$ chẵn
- Vì $y$ chẵn và $y\ge 2$ nên $3^y+1 \equiv 2\ (mod\ 8)$ nên với $x\ge 3$ thì pt không có nghiệm nguyên.
Vậy ta chỉ xét $x=1,2$ và $y=1$...

 

[lequang_clhd]

y=1; x=2 cũng là nghiệm của pt , mà y có chẵn đâu?
..................................................................................

 

[quangltm]

Bài tập thầy Hùng à ?

Cái này là giả thiết Catalan,
Có:
$2^x \equiv (-1)^x \ (mod \ 3)$ => x chẵn
Tương tự, xét đồng dư cho 4 => y lẻ
Đặt $x=2k, y=2i+1 \ (k,i \in \mathbb N)$
Có: $(2^k - 1)(2^k+1)=3^{2i+1}$
=> $2^k = 3^m + 1 = 3^n -1 (m,n \in N; m+n=2i+1)$
=> $m=0 => k=n=1$
=> $x=2, y=1$