phương trình nghiệm nguyên

[ngocphuong_dk96]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giải các phương trình nghiệm nguyên sau :
1) p(p+1)+q(q+1) = r(r+1) với p,q,r là số nguyên tố
2)[TEX]x^2002[/TEX] + [TEX]y^2002[/TEX] = [TEX]2003^2001[/TEX] ([TEX]x^3[/TEX] +[TEX]y^3[/TEX])
3)x(1+x+[TEX]x^2[/TEX])=4y(y+1)
4) 54[TEX]x^3[/TEX]+1=[TEX]y^3[/TEX]
5)CMR phương trình : [TEX]x^2[/TEX]- [TEX]y^3[/TEX] =7 ,không có nghiệm nguyên
6)CMR phương trình :[TEX]x^3[/TEX] +[TEX]y^3[/TEX] + [TEX]z^3[/TEX]=[TEX]2003^4[/TEX] ,không có nghiệm nguyên

 

[bboy114crew]

3)x(1+x+[TEX]x^2[/TEX])=4y(y+1)(1)
4) 54[TEX]x^3[/TEX]+1=[TEX]y^3[/TEX]
5)CMR phương trình : [TEX]x^2[/TEX]- [TEX]y^3[/TEX] =7 ,không có nghiệm nguyên
không có nghiệm nguyên

3)ta có:
[TEX]x(x^2+x+1) = 4y(y+1) \Leftrightarrow (x+1)(x^2+1)=(2y+1)^2 (2)[/TEX]
từ (2) ta thấy [TEX](2y+1)^2 [/TEX]là số lẻ nên [TEX]x+1;x^2+1[/TEX] đều là số lẻ!
giả sử rằng [TEX](1+x;x^2+1)=d \Rightarrow 1+x^2 \vdots d;1+x \vdots d \Leftrightarrow 1+x^2 \vdots d;1-x^2 \vdots d \Rightarrow 2 \vdots d \Rightarrow d=1[/TEX](d là số lẻ)
nên [TEX]x+1;x^2+1[/TEX] đều là số chính phương!
ta thấy [TEX]x^2;1+x^2[/TEX] là hai số tự nhiên liên tiếp mà là hai số chính phương nên x=0 \Rightarrow y=0 hoặc y=-1
4)
đặt 3x=z
ta có:
[TEX]2z^3+1=y^3[/TEX] do VT lẻ nên VP lẻ nên y lẻ .
đặt y=2k+1 , ta có:
[TEX]2z^3+1 = (2k+1)^3 \Leftrightarrow z^3 = 4k^4+6k^2+3k(1) \Rightarrow z \vdots k[/TEX]
dặt z=tk thì (1) \Leftrightarrow[TEX]t^3k^3=k^3+3k(k+1) \Leftrightarrow k(t^3k^2-k^2-3(k+1)^2) = 0[/TEX]
\Leftrightarrowk=0 hoặc [TEX]t^3k^2=k^2-3(k+1)^2[/TEX]
+) nếu k=0 thì y=1 nên 3x=z=-1 \Rightarrow x ko nguyên
+) nếu [TEX]t^3k^2=k^2-3(k+1)^2 \Leftrightarrow (t^3-1)k=3(k+1)^2[/TEX]
với t=1 thì y=-1 \Rightarrow 3x=z=-1 \Rightarrow x ko nguyên .
với [TEX]t \neq 1 \Rightarrow k \neq 1 \Rightarrow 3(k+1)^2 \vdots k^2 [/TEX] mà (k;k+1)=1 \Rightarrow[TEX]3 \vdots k^2 \Rightarrow k^2 = 1 \Rightarrow k=1 \Rightarrow y=3[/TEX] nhưng với giá trị này của y thì x ko nguyên .
nên giá trị duy nhất là (x;y)=(0;1)
chỉ làm đến đây thôi !
mai ra lớp tớ cho xem nha!
phải đi học rồi!

 

[ngocphuong_dk96]

Gợi ý :ta sẽ sử dụng 2 bộ đề sau
1) Nếu [TEX]x^2 +y^2 [/TEX] chia hết cho số nguyên tố p có dạng 4k+3 thì x và y đều chia hết cho p
2)Số nguyên có dạng 4k+3 có ít nhất một ước nguyên tố dạng 4h+3
CỐ LÊN MỌI NGƯỜI

 

[nguyngochieu]

Bài 4:TH1 ta xét x=0
TH2: nhân 2 vế với 216[TEX]x^3[/TEX] ta được
216[TEX]x^3[/TEX]*54[TEX]x^3[/TEX] =[TEX]6xy^3[/TEX]
sau do bien doi thanh VT la binh phuong

 

[bboy114crew]

2)[TEX]x^{2002}+ y^{2002} = 2003^{2001} (x^3 +y^3)[/TEX]
6)CMR phương trình :[TEX]x^3[/TEX] +[TEX]y^3[/TEX] + [TEX]z^3[/TEX]=[TEX]2003^4[/TEX] ,không có nghiệm nguyên

6)ta có:
[TEX]2003^4=(BS9+5)^4=BS9+5^4=BS9+4[/TEX] nên [TEX]2003^4[/TEX]chia 9 dư 4.
Một số tự nhiên n có dạng 3k;3k+1;3k+2
+)với n=3k thì [TEX]n^3=27n^3 \vdots 9[/TEX]
+)với n=3k+1 thì [TEX]n^3=9(3k^3+3k^2+k)+1[/TEX] chia cho 9 dư 1
+)với n=3k+2 thì [TEX]n^3=9(3k^3+6k^2+4k)+8[/TEX] chia cho 9 dư 8.
\Rightarrow[TEX]x^3+y^3+z^3[/TEX] chia cho 9 dư 0,1,2,3,5,6,7,8.
do đó PT đã cho vô nghiệm!
2)ta có:
[TEX]x^{2002}+ y^{2002} = 2003^{2001} (x^3 +y^3)(1)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x^{1001})^2+(y^{1001})^2 = 2003^{2001}(x^3+y^3)[/TEX]
\Rightarrow[TEX] (x^{1001})^2+(y^{1001})^2 \vdots 2003[/TEX]
theo bổ đề 1 ta có:
2003 là số nguyên tố có dạng 4k+3 \Rightarrow[TEX]x^{1001} \vdots 2003;y^{1001} \vdots 2003[/TEX] mà 2003 là số nguyên tố \Rightarrow [TEX]x,y \vdots 2003[/TEX]
đặt :[TEX]x=2003.k;y=2003.q(k,q \in Z)[/TEX]
khi đó (1) \Leftrightarrow[TEX]2003^2(k^3+q^3)=k^{2002}+q^{2002}(2)[/TEX]
theo bổ đề 1 ta lại có:
[TEX]k,q \vdots 2003 \Rightarrow k=2003.m;q=2003.n[/TEX]
khí đó[TEX](2)\Leftrightarrow2003^{1997}(m^{2002}+n^{2002})=m^3+n^3[/TEX]
với mọi [TEX]m,n \in Z[/TEX] thì [TEX]m^{2002}+n^{2002} > m^3+n^3[/TEX]
nên m=n=0 \Rightarrow x=y=0

 

[ngocphuong_dk96]

5)[TEX]x^2[/TEX]-[TEX]y^3[/TEX]=7
<=>[TEX]x^2[/TEX]+1=[TEX]y^3[/TEX]+8
<=>[TEX]x^2[/TEX]+1=(y+2)([TEX]y^2[/TEX]-2y+4)
+) y chẵn =>VT không chia hết cho 8, VP chia hết cho 8
=>phương trình vô nghiệm
+)y lẻ
Với y=4k+1 =>y+2=4k+3
Với y=4k+3=>[TEX]y^2[/TEX] - 2y +4 =4n+3
Theo bổ đề 1;2 thì phương trình đã cho vô nghiệm

 

[asroma11235]

zz

mọi người giải giúp tui bài này nhé:
Giải phương trình nghiệm nguyên:
25x+5y+z=0
cảm ơn mọi người trước