Phương trình nghiệm hữu tỉ $54x^3+1=y^3$

H

hoangtubongdem5

Đề của bạn hình như thiếu điều kiện cho x,y bời vì ta thấy như thế này

[TEX]54x^3+1=y^3 \Leftrightarrow y = \sqrt[3]{54x^3+1}[/TEX]

Nếu ta xem y là hàm số của x thì với mỗi giá trị x bất kì ta luôn tìm được một giá trị của y

Như vậy pt trên có vô số nghiệm thực chứ không riêng gì hai nghiệm mà bạn đã nêu trên đâu.


Nghiệm hữu tỉ.
 
Last edited by a moderator:
D

diendantoanhocvn

hoangtubongdem5 said:
Đề của bạn hình như thiếu điều kiện cho x,y bời vì ta thấy như thế này

[TEX]54x^3+1=y^3 \Leftrightarrow y = \sqrt[3]{54x^3+1}[/TEX]

Nếu ta xem y là hàm số của x thì với mỗi giá trị x bất kì ta luôn tìm được một giá trị của y

Như vậy pt trên có vô số nghiệm thực chứ không riêng gì hai nghiệm mà bạn đã nêu trên đâu.


Nghiệm hữu tỉ.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Điều kiện chính là nghiệm hữu tỉ đó. THeo như bạn thì y phần lớn là vô tỉ
 
P

phuong_july

Đội 2.

Đặt $a=2x^3$ \Rightarrow $27a+1=y^3,a=2x^3$ \Rightarrow $a(27a+1)=2(xy)^3=2t^3$
\Rightarrow $2a(54a+2)=(2t)^3=k^3$ \Rightarrow$u(27u+2)=k^3$ \Rightarrow $9u(3.(9u)+2)=9k^3$
Do đó đặt $v=9v$ khi ấy $v(3v+2)=9k^3$ \Rightarrow $3v(3v+2)=(3k)^3=m^3$
Lúc này phương trình là $9v^2+6v=m^3$ \Rightarrow $(3v+1)^2=m^3+1=(m+1)(m^2-m+1)$
Vì $(m+1,m^2-m+1)\vdots 1,3$ mà $3v+1 \not \vdots 3$ nên $(m+1,m^2-m+1)=1$ do đó $m^2-m+1=l^2$.
giải phương trình $(3v+1)^2=m^3+1$ thu được các nghiệm hữu tỉ $m=0;2$ do đó $v=0;\frac{-4}{3}$
Thay vào thu được $x=0,y=1$; $x=\frac{-1}{3}; y=-1$
\Rightarrow đpcm.
 
Q

quangltm

phuong_july said:
Đặt $a=2x^3$ \Rightarrow $27a+1=y^3,a=2x^3$ \Rightarrow $a(27a+1)=2(xy)^3=2t^3$
\Rightarrow $2a(54a+2)=(2t)^3=k^3$ \Rightarrow$u(27u+2)=k^3$ \Rightarrow $9u(3.(9u)+2)=9k^3$
Do đó đặt $v=9v$ khi ấy $v(3v+2)=9k^3$ \Rightarrow $3v(3v+2)=(3k)^3=m^3$
Lúc này phương trình là $9v^2+6v=m^3$ \Rightarrow $(3v+1)^2=m^3+1=(m+1)(m^2-m+1)$
Vì $(m+1,m^2-m+1)\vdots 1,3$ mà $3v+1 \not \vdots 3$ nên $(m+1,m^2-m+1)=1$ do đó $m^2-m+1=l^2$.
giải phương trình $(3v+1)^2=m^3+1$ thu được các nghiệm hữu tỉ $m=0;2$ do đó $v=0;\frac{-4}{3}$
Thay vào thu được $x=0,y=1$; $x=\frac{-1}{3}; y=-1$
\Rightarrow đpcm.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Đây là phương trình nghiệm hữu tỉ chứ không phải nghiệm nguyên. Mình không nhầm thì lời giải của bạn chép y của nguyenta98 (Ta Ha Nguyen) trên VMF, nhưng bạn nên để ý lại đầu bài của bài giải bạn chép.
 
P

phuong_july

quangltm said:
Đây là phương trình nghiệm hữu tỉ chứ không phải nghiệm nguyên. Mình không nhầm thì lời giải của bạn chép y của nguyenta98 (Ta Ha Nguyen) trên VMF, nhưng bạn nên để ý lại đầu bài của bài giải bạn chép.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bài này đến giờ đã được 5 tháng rồi. Nếu bạn giải dc thì bạn hãy đăng lên cho mọi người cùng tham khảo chứ nhỉ?
 
H

huynhbachkhoa23

Viết lại $(C): 54x^3-y^3+1=0$

$(C)$ không có điểm kỳ dị.

Đường thẳng $(d): y=6x+1$ qua $(0;1)$ và $(\dfrac{-1}{3}; -1)$ không cắt $(C)$ tại điểm thứ $3$, vậy ta có thể kết luận là không còn nghiệm hữu tỉ nào khác được không.
 
Q

quangltm

Bài này mình nhớ không nhầm, có thể giải bằng cách mà Axel Thue với phương trình ax^3 + y^3 = 1 đã làm trước kia, bạn chịu khó Google / sách của hardy [gạch]hình như cũng[gạch] chắc chắn có. Chứ mình giờ mấy năm không làm toán (nâng cao) rồi.

huynhbachkhoa23 said:
Viết lại $(C): 54x^3-y^3+1=0$

$(C)$ không có điểm kỳ dị.

Đường thẳng $(d): y=6x+1$ qua $(0;1)$ và $(\dfrac{-1}{3}; -1)$ không cắt $(C)$ tại điểm thứ $3$, vậy ta có thể kết luận là không còn nghiệm hữu tỉ nào khác được không.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Không đúng thì phải, biết đâu lại còn một đường thẳng Ax + By + C = 0 nào đấy cũng cắt tại < 3 điểm nhưng lại thỏa mãn thêm một nghiệm khác thì sao ?

P/S: Mình viết sai chính tả, là Elliptic curve.
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom