- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 24
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
1. vecto pháp tuyến của mặt phẳng
- vecto [tex]\overrightarrow{n}\neq \overrightarrow{0}[/tex] có giá vuông góc với mặt phẳng [tex](\alpha )[/tex] gọi là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [tex](\alpha )[/tex].
- xét [tex]\overrightarrow{u}=(x_1;y_1;z_1),\overrightarrow{v}=(x_2;y_2;z_2)[/tex] không cùng phương và có giá song song với mặt phẳng [tex](\alpha )[/tex]. khi đó, 1 vecto pháp tuyến của mặt phẳng V là:
[tex]\overrightarrow{n}=\left [ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right ]=(x_2.y_3-x_3.y_2;x_3.y_1-x_1.y_3;x_1.y_2-x_2.y_1)[/tex].
- nếu [tex]\overrightarrow{n}\neq \overrightarrow{0}[/tex] là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [tex]\left (\alpha \right )[/tex] thì vecto [tex]k.\overrightarrow{n}(k\neq 0)[/tex] cũng là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [tex]\left ( \alpha \right )[/tex].
2. phương trình tổng quát của mặt phẳng
- mặt phẳng [tex](\alpha )[/tex] đi qua [tex]M(x_0;y_0;z_0)[/tex] và nhận vecto [tex]\overrightarrow{n}(A;B;C)[/tex] làm vecto pháp tuyến có phương trình tổng quát là:
[tex]A.(x-x_0)+B.(y-y_0)+C.(z-z_0)=0[/tex], [tex](A^2+B^2+C^2>0)[/tex]
hoặc viết gọn: [tex]A.x+B.y+C.z+D=0[/tex]
3. ví trí tương đối giữa 2 mặt phẳng.
2 mặt phẳng [tex](P):A_1x+B_1y+C_1z+D=0[/tex] và [tex](Q):A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0[/tex].
+ (P) trùng (Q): [tex]\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}[/tex]
+ (P) song song với (Q): [tex]\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\neq \frac{D_1}{D_2}[/tex]
+ (P) cắt (Q): [tex]A_1.B_1.C_1\neq A_2.B_2.C_2[/tex]
+ (P) vuông góc với (Q): [tex]A_1.A_2+B_1.B_2+C_1.C_2=0[/tex]
4. phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
- mặt phẳng (P) không đi qua gốc tọa độ và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm [tex]A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;z)[/tex] có phương trình theo đoạn chắn:
[tex]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1[/tex]
5. góc giữa 2 mặt phẳng
2 mặt phẳng [tex](P):A_1x+B_1y+C_1z+D=0[/tex] và [tex](Q):A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0[/tex].
góc [tex]\varphi (0\leq \varphi <90^o)[/tex] là góc giữa 2 mặt phẳng được xác định:
[tex]cos\varphi =\frac{|A_1.A_2+B_1.B_2+C_1.C_2|}{\sqrt{A_1^2_B_1^2+C_1^2}. \sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}[/tex]
6. khoảng cách 1 điểm đến mặt phẳng
khoảng cách từ điểm [tex]M(x_0;y_0;z_0)[/tex] đến mặt phẳng [tex](P):Ax+By+Cz+D=0[/tex] là:
[tex]d(M,(P))=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}[/tex]
ví dụ 1: cho 2 mặt phẳng [tex](P):2x+my+3z-6+m=0[/tex] và [tex](Q): (m+3)x+2y+(5m+1)z-10=0[/tex]. tìm giá trị m để 2 mặt phẳng song song nhau.
giải:
để 2 mặt phẳng song song thì ta xét:
[tex]\frac{2}{m+3}=\frac{m}{2}=\frac{3}{5m+1}\neq \frac{-10}{m-6}[/tex]
[tex]<=>\left\{\begin{matrix} m_2+3m=4\\ 5m^2+m=6\\ 5m^2-29m+24\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]
hệ này vô nghiệm. vậy không có giá trị m nào để 2 mặt phẳng song song.
ví dụ 2: có bao nhiêu mặt phẳng đi qua [tex]M(1;3;4)[/tex] và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho OA=OB=OC và khác 0.
giải:
giả sử mặt phẳng cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm [tex]A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;z)[/tex] có phương trình theo đoạn chắn:
[tex]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1[/tex]
vì mặt phẳng đi qua M(1;3;4) nên ta có: [tex]\frac{1}{a}+\frac{3}{b}+\frac{4}{c}=1[/tex]
[tex]OA=OB=OC<=>|a|=|b|=|c|[/tex]
từ đó, suy ra có 4 mặt phẳng thỏa mãn.
- vecto [tex]\overrightarrow{n}\neq \overrightarrow{0}[/tex] có giá vuông góc với mặt phẳng [tex](\alpha )[/tex] gọi là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [tex](\alpha )[/tex].
- xét [tex]\overrightarrow{u}=(x_1;y_1;z_1),\overrightarrow{v}=(x_2;y_2;z_2)[/tex] không cùng phương và có giá song song với mặt phẳng [tex](\alpha )[/tex]. khi đó, 1 vecto pháp tuyến của mặt phẳng V là:
[tex]\overrightarrow{n}=\left [ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right ]=(x_2.y_3-x_3.y_2;x_3.y_1-x_1.y_3;x_1.y_2-x_2.y_1)[/tex].
- nếu [tex]\overrightarrow{n}\neq \overrightarrow{0}[/tex] là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [tex]\left (\alpha \right )[/tex] thì vecto [tex]k.\overrightarrow{n}(k\neq 0)[/tex] cũng là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [tex]\left ( \alpha \right )[/tex].
2. phương trình tổng quát của mặt phẳng
- mặt phẳng [tex](\alpha )[/tex] đi qua [tex]M(x_0;y_0;z_0)[/tex] và nhận vecto [tex]\overrightarrow{n}(A;B;C)[/tex] làm vecto pháp tuyến có phương trình tổng quát là:
[tex]A.(x-x_0)+B.(y-y_0)+C.(z-z_0)=0[/tex], [tex](A^2+B^2+C^2>0)[/tex]
hoặc viết gọn: [tex]A.x+B.y+C.z+D=0[/tex]
3. ví trí tương đối giữa 2 mặt phẳng.
2 mặt phẳng [tex](P):A_1x+B_1y+C_1z+D=0[/tex] và [tex](Q):A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0[/tex].
+ (P) trùng (Q): [tex]\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}[/tex]
+ (P) song song với (Q): [tex]\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\neq \frac{D_1}{D_2}[/tex]
+ (P) cắt (Q): [tex]A_1.B_1.C_1\neq A_2.B_2.C_2[/tex]
+ (P) vuông góc với (Q): [tex]A_1.A_2+B_1.B_2+C_1.C_2=0[/tex]
4. phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
- mặt phẳng (P) không đi qua gốc tọa độ và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm [tex]A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;z)[/tex] có phương trình theo đoạn chắn:
[tex]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1[/tex]
5. góc giữa 2 mặt phẳng
2 mặt phẳng [tex](P):A_1x+B_1y+C_1z+D=0[/tex] và [tex](Q):A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0[/tex].
góc [tex]\varphi (0\leq \varphi <90^o)[/tex] là góc giữa 2 mặt phẳng được xác định:
[tex]cos\varphi =\frac{|A_1.A_2+B_1.B_2+C_1.C_2|}{\sqrt{A_1^2_B_1^2+C_1^2}. \sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}[/tex]
6. khoảng cách 1 điểm đến mặt phẳng
khoảng cách từ điểm [tex]M(x_0;y_0;z_0)[/tex] đến mặt phẳng [tex](P):Ax+By+Cz+D=0[/tex] là:
[tex]d(M,(P))=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}[/tex]
ví dụ 1: cho 2 mặt phẳng [tex](P):2x+my+3z-6+m=0[/tex] và [tex](Q): (m+3)x+2y+(5m+1)z-10=0[/tex]. tìm giá trị m để 2 mặt phẳng song song nhau.
giải:
để 2 mặt phẳng song song thì ta xét:
[tex]\frac{2}{m+3}=\frac{m}{2}=\frac{3}{5m+1}\neq \frac{-10}{m-6}[/tex]
[tex]<=>\left\{\begin{matrix} m_2+3m=4\\ 5m^2+m=6\\ 5m^2-29m+24\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]
hệ này vô nghiệm. vậy không có giá trị m nào để 2 mặt phẳng song song.
ví dụ 2: có bao nhiêu mặt phẳng đi qua [tex]M(1;3;4)[/tex] và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho OA=OB=OC và khác 0.
giải:
giả sử mặt phẳng cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm [tex]A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;z)[/tex] có phương trình theo đoạn chắn:
[tex]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1[/tex]
vì mặt phẳng đi qua M(1;3;4) nên ta có: [tex]\frac{1}{a}+\frac{3}{b}+\frac{4}{c}=1[/tex]
[tex]OA=OB=OC<=>|a|=|b|=|c|[/tex]
từ đó, suy ra có 4 mặt phẳng thỏa mãn.
