- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Với các bài tập giải PTLG với tanx và cotx. Cách làm của chúng ta thông thường là đặt ẩn phụ, dựa trên sự lợi dụng tính chất: [tex]tanx.cotx=1[/tex] với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định của tanx và cotx.
1, Giải PTLG: [tex]tanx^2x+cot^2x+tanx+cotx=4[/tex] (1)
Lời giải:
ĐKXĐ:[TEX]sinx \neq 0 , cosx \neq 0<=>sin2x \neq 0[/TEX]
Ta có: [tex](1)<=>(tanx+cotx)^2-2tanx.cotx+tanx+cotx=4<=>(tanx+cotx)^2+tanx+cotx-6=0[/tex]
Đặt [TEX]tanx+cotx=t[/TEX] PT trở thành:
[tex]t^2+t-6=0<=>t=2;t=-3[/tex]
Với t=2, ta có: [tex]tanx+cotx=2<=>\frac{sinx}{cosx}+\frac{cosx}{sinx}=2<=>\frac{sin^2x+cos^2x}{sinxcosx}=2[/tex]
<=>[tex]1=2sinxcosx<=>1=sin2x<=>x=\frac{\pi }{4}+k\pi[/tex] (thỏa mãn ĐK)
Với t=-3, tương tự ta có: [tex]\frac{1}{sinxcosx}=-3<=>sin2x=\frac{-2}{3}[/tex]
<=>[tex]x=\frac{1}{2}arcsin\frac{-2}{3}+k\pi ;x=\pi - \frac{1}{2}arcsin\frac{-2}{3}+k\pi[/tex] (thỏa mãn ĐK)
Vậy pt đã cho có 3 họ nghiệm.
2, Biện luận m để pt: [tex]3(tan^2x+cot^2x)+4(tanx+cotx)+m=0[/tex] (1) có nghiệm
Lời giải:
Đặt [TEX]tanx+cotx=t[/TEX]. Như đã giải ở bài 1, ta thấy :
[tex]t=\frac{1}{sinxcosx}<=>sin2x=\frac{2}{t}[/tex]
Mà: [tex]-1\leq sin2x\leq 1[/tex] => [tex]-1\leq \frac{2}{t}\leq 1<=>|t|\geq 2[/tex] để pt [TEX]tanx+cotx=t[/TEX] có nghiệm.
PT (1) trở thành: [tex]3t^2+4t+m-6=0[/tex] (2)
Do [TEX]|t| \geq 2[/TEX] nên (1) có nghiệm khi (2) có nghiệm t thỏa mãn [TEX]|t| \geq 2[/TEX]
Đến đây, bài toán thuận có khá nhiều trường hợp. Nên ta sẽ tìm điều kiện của bài toán ngược, tức pt (1) sẽ vô nghiệm.
(1) vô nghiệm khi:
TH1: (2) vô nghiệm, tức: [tex]\Delta' <0 <=>4-3(m-6)<0<=>22-3m<0<=>m>22/3[/tex]
TH2: (2) có nghiệm, các nghiệm đều nằm trong khoảng (-2;2)
Xét [tex]\Delta '=0<=>m=\frac{22}{3}=>t=\frac{-2}{3}[/tex] thỏa mãn [TEX]|t|<2[/TEX]
Xét [tex]\Delta '>0[/tex] , ta cần: [TEX]-2<t_1,t_2<2[/TEX]
Đưa về biểu thức để áp dụng Vi-ét:
[TEX]\left\{\begin{matrix}-4<t_1+t_2<4\\ (t_1+2)(t_2+2)>0\\ (t_1-2)(t_2-2)>0 \end{matrix}\right.[/TEX]
<=>[tex]\left\{\begin{matrix} -4<\frac{-4}{3}<4\\ \frac{-8}{3}+\frac{m-6}{3}+4>0\\ \frac{8}{3}+\frac{m-6}{3}+4>0 \end{matrix}\right.[/tex]
<=>m>2
Kết hợp với [tex]\Delta '>0<=>m<\frac{22}{3}[/tex] ta được : [TEX]2<m<\frac{22}{3}[/TEX]
Vậy điều kiện để pt đã cho vô nghiệm là: [TEX]m>2[/TEX]
Vậy để pt đã cho có nghiệm thì [TEX]m \leq 2[/TEX]
1, Giải PTLG: [tex]tanx^2x+cot^2x+tanx+cotx=4[/tex] (1)
Lời giải:
ĐKXĐ:[TEX]sinx \neq 0 , cosx \neq 0<=>sin2x \neq 0[/TEX]
Ta có: [tex](1)<=>(tanx+cotx)^2-2tanx.cotx+tanx+cotx=4<=>(tanx+cotx)^2+tanx+cotx-6=0[/tex]
Đặt [TEX]tanx+cotx=t[/TEX] PT trở thành:
[tex]t^2+t-6=0<=>t=2;t=-3[/tex]
Với t=2, ta có: [tex]tanx+cotx=2<=>\frac{sinx}{cosx}+\frac{cosx}{sinx}=2<=>\frac{sin^2x+cos^2x}{sinxcosx}=2[/tex]
<=>[tex]1=2sinxcosx<=>1=sin2x<=>x=\frac{\pi }{4}+k\pi[/tex] (thỏa mãn ĐK)
Với t=-3, tương tự ta có: [tex]\frac{1}{sinxcosx}=-3<=>sin2x=\frac{-2}{3}[/tex]
<=>[tex]x=\frac{1}{2}arcsin\frac{-2}{3}+k\pi ;x=\pi - \frac{1}{2}arcsin\frac{-2}{3}+k\pi[/tex] (thỏa mãn ĐK)
Vậy pt đã cho có 3 họ nghiệm.
2, Biện luận m để pt: [tex]3(tan^2x+cot^2x)+4(tanx+cotx)+m=0[/tex] (1) có nghiệm
Lời giải:
Đặt [TEX]tanx+cotx=t[/TEX]. Như đã giải ở bài 1, ta thấy :
[tex]t=\frac{1}{sinxcosx}<=>sin2x=\frac{2}{t}[/tex]
Mà: [tex]-1\leq sin2x\leq 1[/tex] => [tex]-1\leq \frac{2}{t}\leq 1<=>|t|\geq 2[/tex] để pt [TEX]tanx+cotx=t[/TEX] có nghiệm.
PT (1) trở thành: [tex]3t^2+4t+m-6=0[/tex] (2)
Do [TEX]|t| \geq 2[/TEX] nên (1) có nghiệm khi (2) có nghiệm t thỏa mãn [TEX]|t| \geq 2[/TEX]
Đến đây, bài toán thuận có khá nhiều trường hợp. Nên ta sẽ tìm điều kiện của bài toán ngược, tức pt (1) sẽ vô nghiệm.
(1) vô nghiệm khi:
TH1: (2) vô nghiệm, tức: [tex]\Delta' <0 <=>4-3(m-6)<0<=>22-3m<0<=>m>22/3[/tex]
TH2: (2) có nghiệm, các nghiệm đều nằm trong khoảng (-2;2)
Xét [tex]\Delta '=0<=>m=\frac{22}{3}=>t=\frac{-2}{3}[/tex] thỏa mãn [TEX]|t|<2[/TEX]
Xét [tex]\Delta '>0[/tex] , ta cần: [TEX]-2<t_1,t_2<2[/TEX]
Đưa về biểu thức để áp dụng Vi-ét:
[TEX]\left\{\begin{matrix}-4<t_1+t_2<4\\ (t_1+2)(t_2+2)>0\\ (t_1-2)(t_2-2)>0 \end{matrix}\right.[/TEX]
<=>[tex]\left\{\begin{matrix} -4<\frac{-4}{3}<4\\ \frac{-8}{3}+\frac{m-6}{3}+4>0\\ \frac{8}{3}+\frac{m-6}{3}+4>0 \end{matrix}\right.[/tex]
<=>m>2
Kết hợp với [tex]\Delta '>0<=>m<\frac{22}{3}[/tex] ta được : [TEX]2<m<\frac{22}{3}[/TEX]
Vậy điều kiện để pt đã cho vô nghiệm là: [TEX]m>2[/TEX]
Vậy để pt đã cho có nghiệm thì [TEX]m \leq 2[/TEX]
