Điều kiện để các biểu thức căn có nghĩa là $ \displaystyle x \ge \frac{2}{3} $.
Viết phương trình đề bài thành
$$ 2 \left( x^2-3x+2 \right) +\left( \sqrt{3x^2+7x-1}-\left( 2x+1 \right) \right)+\left( \sqrt{3x-2}-x \right)=0 $$
Tương đương với
$$ 2 \left( x^2-3x+2 \right) -\left(\frac{x^2-3x+2}{2x+1+\sqrt{3x^2+7x-1}} \right)- \left(\frac{x^2-3x+2}{x+\sqrt{3x-2}} \right) =0 $$
Tương đương với
$$ \left( x^2-3x+2 \right) \left(2-\frac{1}{2x+1+\sqrt{3x^2+7x-1}}-\frac{1}{x+\sqrt{3x-2}} \right)=0 $$
Đến đây , chú ý là
$$ 2x+1+\sqrt{3x^2+7x-1} \ge 2x+1 \ge \frac{7}{3} $$
Suy ra
$$ \frac{1}{2x+1+\sqrt{3x^2+7x-1} } \le \frac{3}{7} $$
Suy ra
$$ -\frac{1}{2x+1+\sqrt{3x^2+7x-1} } \ge -\frac{3}{7} $$
Và
$$ x+\sqrt{3x-2} \ge x \ge \frac{2}{3} $$
Suy ra
$$ \frac{1}{x+\sqrt{3x-2}} \le \frac{3}{2} $$
Suy ra
$$ -\frac{1}{x+\sqrt{3x-2}} \ge -\frac{3}{2} $$
Lúc đó
$$ 2-\frac{1}{2x+1+\sqrt{3x^2+7x-1}}-\frac{1}{x+\sqrt{3x-2}} \ge 2-\frac{3}{7}-\frac{3}{2} >0 $$
Vậy có
$$ x^2-3x+2=0 $$
Hay là
$$ x=1 \ \text{hoặc} \ x=2 $$
Đó chính là nghiệm của phương trình đề bài.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
[/URL][/IMG]