Toán 10 Phương trình, hệ phương trình

[nguyenthianh4c]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hệ phương trình: [tex]\left\{\begin{matrix}x^3+3x-y^3+3y^2-6y+4=0 & \\ & x^2+\sqrt{1-x^2} -3\sqrt{2y-y^2} +m=0 \end{matrix}\right.[/tex]
Tìm m để hệ có 2 nghiệm phân biệt
Ở pt thứ nhất, em phân tích được ra là [tex](x+1-y)\[tex](x+1)^2-(x+1)y+y^2-3(x+y-1)=0[/tex] [/tex]. Từ đó tính ra được là y=x+1. Vậy làm thế nào để giải được pt [tex](x+1)^2-(x+1)y+y^2-3(x+y-1)=0[/tex] ạ?
Mong mọi người giải nhanh giúp em ạ. em xin cảm ơn

 

[dtlam385]

Chào bạn bài bạn đã phân tích đúng đoạn đầu nhưng bạn chú ý có chỗ nhầm hằng đẳng thức rồi nhé!
[tex]\begin{cases} x^{3}+3x-y^{3}+3y^{2}-6y+4=0 (i)\\x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}-3\sqrt{2y-y^{2}}+m=0(ii)\end{cases}[/tex]
[tex](i)\Leftrightarrow x^{3}+3x^{2}+3x+1-y^{3}+3y^{2}-6y+3-3x^{2}=0\\ \Leftrightarrow (x+1)^{3}-y^{3}+3(y-1)^{2}-3x^{2}=0\\ \Leftrightarrow (x+1-y)[(x+1)^{2}+(x+1)y+y^{2}-3(x+y-1)]=0\\[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left [\begin{matrix} y=x+1(1)\\ (x+1)^{2}+(x+1)y+y^{2}-3(x+y-1)=0 (2) \end{matrix} \right.[/tex] [tex](2) \Leftrightarrow x^{2}+2x+1+xy+y+y^{2}-3x-3y+3=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{2}(2x^{2}-2x+8+2y^{2}-4y+2xy)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^{2}-2x+1+y^{2}-4y+4+x^{2}+2xy+y^{2}+3=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(x+y)^{2}+3=0[/tex]
mà [tex](x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(x+y)^{2}+3 \geq 3 >0[/tex] nên $(2)$ vô nghiệm
Thay $(1)$ vào $(ii)$ ta được:
[tex]x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}-3\sqrt{2(x+1)-(x+1)^{2}}+m=0[/tex] ($-1\leq x \leq 1$); ($0\leq y \leq 2$)
[tex]\Leftrightarrow x^{2}-2\sqrt{1-x^{2}}+m=0[/tex]
[tex]-(1-x^{2})-2\sqrt{1-x^{2}}+m+1=0[/tex] $(3)$
Đặt $t=\sqrt{1-x^{2}}$ ([tex]t \geq 0[/tex] ), khi ấy phương trình $(3)$ trở thành:
$t^{2}+2t-m-1=0$ (*)
[tex]\Delta = 4-4(-m-1)>0\Leftrightarrow m>2[/tex] (để (*) có 2 nghiệm phân biệt)
[tex](3) \Leftrightarrow (\sqrt{1-x^{2}}+1)^{2}-(m+2)=0 \\ \Leftrightarrow (\sqrt{1-x^{2}}+1-\sqrt{m+2})(\sqrt{1-x^{2}}+1+\sqrt{m+2})=0\\ \Leftrightarrow \sqrt{1-x^{2}}+1-\sqrt{m+2}=0(\sqrt{1-x^{2}}+1+\sqrt{m+2}>0)\\ \Leftrightarrow \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{m+2}-1\\ \Leftrightarrow 1-x^{2} =m+2+1-2\sqrt{m+2}(m \geq -1) (5)\\ \Leftrightarrow x^{2}+m+2-2\sqrt{m+2}=0\\ \Rightarrow m+2-2\sqrt{m+2}<0(4)\\ \Leftrightarrow m+2<2\sqrt{m+2}\\ \Leftrightarrow (m+2)^{2}<4(m+2)\\ \Leftrightarrow m^{2}-4<0 \Leftrightarrow (m-2)(m+2)<0 \Leftrightarrow -2<m<2[/tex]
KHĐK được $-1\leq m<2$
Vậy để HPT có 2 nghiệm phân biệt thì $-1\leq m<2$

Chỗ $(4)$ là vì để hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt thì x ở $(3)$, $(4)$ phải có 2 nghiệm phân biệt nhé.
Chỗ $(5)$ là điều kiện khi giải phương trình $\sqrt{f(x)}=g(x)$ nha
Nếu có thắc mắc gì thì cậu cứ hỏi nhé. Chúc cậu học tốt.

 

[nguyenthianh4c]

Chào bạn bài bạn đã phân tích đúng đoạn đầu nhưng bạn chú ý có chỗ nhầm hằng đẳng thức rồi nhé!
[tex]\begin{cases} x^{3}+3x-y^{3}+3y^{2}-6y+4=0 (i)\\x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}-3\sqrt{2y-y^{2}}+m=0(ii)\end{cases}[/tex]
[tex](i)\Leftrightarrow x^{3}+3x^{2}+3x+1-y^{3}+3y^{2}-6y+3-3x^{2}=0\\ \Leftrightarrow (x+1)^{3}-y^{3}+3(y-1)^{2}-3x^{2}=0\\ \Leftrightarrow (x+1-y)[(x+1)^{2}+(x+1)y+y^{2}-3(x+y-1)]=0\\[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left [\begin{matrix} y=x+1(1)\\ (x+1)^{2}+(x+1)y+y^{2}-3(x+y-1)=0 (2) \end{matrix} \right.[/tex] [tex](2) \Leftrightarrow x^{2}+2x+1+xy+y+y^{2}-3x-3y+3=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{2}(2x^{2}-2x+8+2y^{2}-4y+2xy)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^{2}-2x+1+y^{2}-4y+4+x^{2}+2xy+y^{2}+3=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(x+y)^{2}+3=0[/tex]
mà [tex](x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(x+y)^{2}+3 \geq 3 >0[/tex] nên $(2)$ vô nghiệm
Thay $(1)$ vào $(ii)$ ta được:
[tex]x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}-3\sqrt{2(x+1)-(x+1)^{2}}+m=0[/tex] ($-1\leq x \leq 1$); ($0\leq y \leq 2$)
[tex]\Leftrightarrow x^{2}-2\sqrt{1-x^{2}}+m=0[/tex]
[tex]-(1-x^{2})-2\sqrt{1-x^{2}}+m+1=0[/tex] $(3)$
Đặt $t=\sqrt{1-x^{2}}$ ([tex]t \geq 0[/tex] ), khi ấy phương trình $(3)$ trở thành:
$t^{2}+2t-m-1=0$ (*)
[tex]\Delta = 4-4(-m-1)>0\Leftrightarrow m>2[/tex] (để (*) có 2 nghiệm phân biệt)
[tex](3) \Leftrightarrow (\sqrt{1-x^{2}}+1)^{2}-(m+2)=0 \\ \Leftrightarrow (\sqrt{1-x^{2}}+1-\sqrt{m+2})(\sqrt{1-x^{2}}+1+\sqrt{m+2})=0\\ \Leftrightarrow \sqrt{1-x^{2}}+1-\sqrt{m+2}=0(\sqrt{1-x^{2}}+1+\sqrt{m+2}>0)\\ \Leftrightarrow \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{m+2}-1\\ \Leftrightarrow 1-x^{2} =m+2+1-2\sqrt{m+2}(m \geq -1) (5)\\ \Leftrightarrow x^{2}+m+2-2\sqrt{m+2}=0\\ \Rightarrow m+2-2\sqrt{m+2}<0(4)\\ \Leftrightarrow m+2<2\sqrt{m+2}\\ \Leftrightarrow (m+2)^{2}<4(m+2)\\ \Leftrightarrow m^{2}-4<0 \Leftrightarrow (m-2)(m+2)<0 \Leftrightarrow -2<m<2[/tex]
KHĐK được $-1\leq m<2$
Vậy để HPT có 2 nghiệm phân biệt thì $-1\leq m<2$

Chỗ $(4)$ là vì để hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt thì x ở $(3)$, $(4)$ phải có 2 nghiệm phân biệt nhé.
Chỗ $(5)$ là điều kiện khi giải phương trình $\sqrt{f(x)}=g(x)$ nha
Nếu có thắc mắc gì thì cậu cứ hỏi nhé. Chúc cậu học tốt.

Cảm ơn bạn nhiều nha. Cách giải của bạn rất dễ hiểu