Dễ thấy [imath]f[/imath] đơn ánh.
Ta phân hoạch [imath]\mathbb{N}^*[/imath] thành 2 tập:
[imath]A= \lbrace{ x \in \mathbb{N}^*|f(x) \leq 2 \rbrace}[/imath]
[imath]B= \lbrace{ x \in \mathbb{N}^*|f(x) \geq 3 \rbrace}[/imath]
Ta thấy nếu [imath]A[/imath] có vô hạn phần tử, thì ta chọn [imath]x,y,z \in A[/imath] thay vào giả thiết.
Khi đó [imath]VT \leq 2^{2^2}[/imath], còn [imath]VP[/imath] nếu cho [imath]x[/imath] tiến tới [imath]+\infty[/imath] thì [imath]VP \to +\infty[/imath] nên không thỏa mãn.
Vậy [imath]A[/imath] có hữu hạn phần tử, suy ra [imath]B[/imath] có vô hạn phần tử.
Chọn [imath]x,y,z \in B[/imath] và [imath]x \neq y[/imath] ta được [imath]f^{f^{f(x)}(y)}(z) = x+y+z+1[/imath]
Hoán vị [imath]y[/imath] và [imath]x[/imath] ta có [imath]f^{f^{f(y)}(x)}(z) = x+y+z+1=f^{f^{f(x)}(y)}(z)[/imath]
[imath]\Rightarrow f^{f(y)}(x)=f^{f(x)}(y)[/imath]
Đặt [imath]f(x)=a,f(y)=b[/imath] thì ta có [imath]a^b=b^a \Rightarrow b\ln a=a \ln b \Rightarrow \dfrac{\ln a}{a}=\dfrac{\ln b}{b}[/imath]
Xét hàm [imath]f(x)=\dfrac{\ln x}{x}[/imath] thì [imath]f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}<0 \forall x \geq 3[/imath]
Từ đó [imath]f[/imath] nghịch biến trên [imath][3,+\infty)[/imath] nên [imath]\dfrac{\ln a}{a}=\dfrac{\ln b}{b} \Rightarrow a=b \Rightarrow f(x)=f(y)[/imath]
Mà [imath]x \neq y[/imath] nên mâu thuẫn với giả thiết đơn ánh.
Vậy không tồn tại hàm số thỏa mãn đề bài.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Một số bài toán về phương trình hàm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
