Toán 10 Phương trình đường tròn

[amsterdamIMO]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho đường tròn $(C): (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ và đường thẳng $\Delta_{1} : (m + 1)x + my - 1 = 0.$
a. Chứng minh rằng $\Delta$ luôn cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$
b. Tìm $m$ để độ dài đoạn $AB$ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

 

[7 1 2 5]

a) Dễ thấy m = 0 thỏa mãn. Xét m khác 0.
Từ [tex](m + 1)x + my - 1 = 0 \Rightarrow y=-\frac{m+1}{m}x-\frac{1}{m}[/tex]
Thay vào phương trình đường tròn ta có: [tex](x-2)^2+(y-1)^2-9=0 \Rightarrow (x-2)^2+(-\frac{m+1}{m}x-\frac{1}{m}-1)^2-9=0 \Rightarrow x^2-4x+(\frac{m+1}{m}x+\frac{m+1}{m})^2-5=0 \Rightarrow x^2-4x+\frac{m^2+2m+1}{m^2}x^2+2.\frac{m^2+2m+1}{m^2}x+\frac{m^2+2m+1}{m^2}-5=0 \Rightarrow \frac{2m^2+2m+1}{m^2}x^2+\frac{-2m^2+4m+2}{m^2}x+\frac{-4m^2+2m+1}{m^2} \Rightarrow (2m^2+2m+1)x^2+(-2m^2+4m+2)x-4m^2+2m+1=0[/tex]
Phương trình trên có [tex]\Delta '=(-m^2 + 2 m + 1)^2 - (2 m^2 + 2 m + 1) (-4 m^2 + 2 m + 1)=9m^4 > 0 \forall m[/tex] nên luôn có 2 giao điểm A,B.
b) AB lớn nhất khi AB là đường kính của (C) hay [TEX]\Delta _1[/TEX] đi qua tâm [TEX]I(2,1)[/TEX](bạn tự giải)
AB nhỏ nhất khi khoảng cách từ I tới [TEX]\Delta _1[/TEX] lớn nhất.
Mà ta thấy [TEX]\Delta _1[/TEX] luôn đi qua C(1,-1) nên [tex]d_{(I,\Delta_1)} \leq IC[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]\Delta _1[/TEX] vuông với IC.

 

[amsterdamIMO]

a) Dễ thấy m = 0 thỏa mãn. Xét m khác 0.
Từ [tex](m + 1)x + my - 1 = 0 \Rightarrow y=-\frac{m+1}{m}x-\frac{1}{m}[/tex]
Thay vào phương trình đường tròn ta có: [tex](x-2)^2+(y-1)^2-9=0 \Rightarrow (x-2)^2+(-\frac{m+1}{m}x-\frac{1}{m}-1)^2-9=0 \Rightarrow x^2-4x+(\frac{m+1}{m}x+\frac{m+1}{m})^2-5=0 \Rightarrow x^2-4x+\frac{m^2+2m+1}{m^2}x^2+2.\frac{m^2+2m+1}{m^2}x+\frac{m^2+2m+1}{m^2}-5=0 \Rightarrow \frac{2m^2+2m+1}{m^2}x^2+\frac{-2m^2+4m+2}{m^2}x+\frac{-4m^2+2m+1}{m^2} \Rightarrow (2m^2+2m+1)x^2+(-2m^2+4m+2)x-4m^2+2m+1=0[/tex]
Phương trình trên có [tex]\Delta '=(-m^2 + 2 m + 1)^2 - (2 m^2 + 2 m + 1) (-4 m^2 + 2 m + 1)=9m^4 > 0 \forall m[/tex] nên luôn có 2 giao điểm A,B.
b) AB lớn nhất khi AB là đường kính của (C) hay [TEX]\Delta _1[/TEX] đi qua tâm [TEX]I(2,1)[/TEX](bạn tự giải)
AB nhỏ nhất khi khoảng cách từ I tới [TEX]\Delta _1[/TEX] lớn nhất.
Mà ta thấy [TEX]\Delta _1[/TEX] luôn đi qua C(1,-1) nên [tex]d_{(I,\Delta_1)} \leq IC[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]\Delta _1[/TEX] vuông với IC.

2b)
$\dfrac{\left | 2(m + 1) + 1.m - 1 \right |}{\sqrt{(m + 1)^{2} + m^{2}}} \leq \sqrt{(1 - 2)^{2} + (-1 - 1)^{2}}$
Em tính ra $m \in \mathbb{R}$ thì là như thế nào ạ ?

 

[7 1 2 5]

2b)
$\dfrac{\left | 2(m + 1) + 1.m - 1 \right |}{\sqrt{(m + 1)^{2} + m^{2}}} \leq \sqrt{(1 - 2)^{2} + (-1 - 1)^{2}}$
Em tính ra $m \in \mathbb{R}$ thì là như thế nào ạ ?

m=-2 mà nhỉ?

 

[amsterdamIMO]

m=-2 mà nhỉ?

Kết quả là $(m + 2)^{2} \geq 0$ (luôn đúng) ạ

 

[7 1 2 5]

Kết quả là $(m + 2)^{2} \geq 0$ (luôn đúng) ạ

Thì luôn đúng mà bạn. Dấu "=" xảy ra khi [tex]\dfrac{\left | 2(m + 1) + 1.m - 1 \right |}{\sqrt{(m + 1)^{2} + m^{2}}}=\sqrt{(1 - 2)^{2} + (-1 - 1)^{2}}[/tex] tức m = -2 cơ.