[tex]a!b!=a!+b!+c!\Rightarrow c!+1=(a!-1)(b!-1)[/tex]
Dễ thấy [TEX]a,b \geq 2[/TEX]. Không mất tính tổng quát giả sử [TEX]a \leq b[/TEX]
Với a = 2 ta có: [tex]c!=b!-2\Rightarrow b!-c!=2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b> c\\ 2=b!-c!\vdots c! \end{matrix}\right.\Rightarrow c!\in \left \{ 1,2 \right \}\Rightarrow c\in \left \{ 1,2 \right \}[/tex]
+ [TEX]c = 1 \Rightarrow b!=3[/TEX](loại)
+ [TEX]c=2 \Righarrow b!=4[/TEX](loại)
Với [tex]a<b\Rightarrow c!+1=(a!-1)(b!-1)\geq (3!-1)(b!-1)=5b!-5> b!+1\Rightarrow c> b\Rightarrow c!+b!\vdots b![/tex]
Mà [tex]a![/tex] không chia hết cho [TEX]b![/TEX] nên VT phương trình ban đầu chia hết cho [TEX]b![/TEX], VP không chia hết cho [TEX]b![/TEX] nên loại.
Với [tex]a=b \Rightarrow c!=a!(a!-2)[/tex]
Vì [tex]a!-2[/tex] không chia hết cho 3 nên [tex]\frac{c!}{a!}=a!-2[/tex] không chia hết cho 3 hay [tex]a< c\leq a+2\Rightarrow c\in \left \{ a+1,a+2 \right \}[/tex]
+ [tex]c=a+1\Rightarrow a!-2=a+1\Rightarrow a!=a+3[/tex]
Vì [tex]a\geq 3[/tex] nên [tex]a!\geq a(a-1)=a^2-a=(a^2-2a-3)+a+3=(a-3)(a+1)+a+3\geq a+3[/tex].
Dấu "=" xảy ra khi a = 3. Từ đó a = 3, b = 3, c = 4.
+[tex]c=a\Rightarrow a!-2=1\Rightarrow a!=3[/tex](loại)
+ [tex]c=a+2\Rightarrow (a+1)(a+2)=a!-2\Rightarrow a^2+3a+4=a![/tex]
Thử a = 3, a = 4 ta thấy không thỏa mãn. Với [tex]a \geq 5\Rightarrow a!> a(a-1)(a-2)=a^3-3a^2+2a=(a^2+3a+4)+(a^3-4a^2-a-4)=(a^2+3a+4)+a^2(a-5)+a(a-5)+4a-4> a^2+3a+4[/tex]
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất [tex](a,b,c)=(3,3,4)[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
