Toán 10 Phương trình bậc hai đối với $\sin x$ và $\cos x$

[Timeless time]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Phương trình bậc hai đối với [imath]sin x[/imath] và [imath]\cos x[/imath] [imath]a\cos^2 x + bsin^2 x + c\sin x \cos x + d = 0[/imath]​

I. CÁCH GIẢI
Chia hai vế của phương trình cho [imath]\cos ^2 x[/imath] ( với [imath]\cos x \ne 0[/imath]) thì:
[imath]a + b \tan^2 x + c\tan x + d(1+ \tan^2x) = 0[/imath]
[imath]\iff (b + d) \tan^2 x + c \tan x + (a + d) = 0[/imath]
[imath]\iff (b + d)t^2 + ct + (a+d) = 0[/imath] ( với [imath]t = \tan x[/imath])
Sau đó cần bổ sung trường hợp [imath]\cos x = 0[/imath]

II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Giải các phương trình sau:

1. [imath]\cos^2 x - \sin^2 x - \sqrt 3 \sin 2x - 1 = 0[/imath]
Ta thấy [imath]\cos x = 0[/imath] thì không thoả mãn phương trình
Chia hai vế cho [imath]\cos^2 x[/imath], ta có:
[imath]1 - \tan^2 x - 2\sqrt 3 \tan x - (1 + \tan^2 x) = 0[/imath]
[imath]\iff 2 \tan^2x + 2 \sqrt 3 \tan x = 0[/imath]
[imath]\iff \left[ \begin{array}{l} \tan x = 0 \\ \tan x = -\sqrt 3 \end{array} \right.[/imath]
[imath]\iff \left[ \begin{array}{l} x = k \pi \\ x = -\dfrac{\pi}3 + k\pi \end{array} \right.[/imath]

2. [imath]\dfrac{1}{\cos x} = 4\sin x + 6 \cos x[/imath]
Điều kiện: [imath]\cos x \ne 0[/imath]
Chia hai vế cho [imath]\cos x[/imath], ta có: [imath]\dfrac{1}{\cos^2 x} = 4 \tan x + 6[/imath]
[imath]\iff 1 + \tan^2x = 4\tan x + 6 \\ \iff \tan^2 x - 4\tan x - 5 = 0 \\ \iff \left[ \begin{array}{l} \tan x = -1 \\ \tan x = 5 \end{array} \right. \\ \iff \left[ \begin{array}{l} x = -\dfrac{\pi}4 + k \pi \\ x = \arctan 5 + k \pi \end{array} \right.[/imath]

3. [imath]\sin^3 x + \cos^3 x = \sin x - \cos x[/imath]
Ta có: [imath]\sin^3 x + \cos^3 x = \sin x - \cos x[/imath]
[imath]\iff \sin^3 x - \sin x + \cos^3 x + \cos x = 0[/imath]
[imath]\iff \sin x(\sin^2 x - 1) + \cos^3 x + \cos x = 0[/imath]
[imath]\iff \cos x (-\sin x \cos x + \cos^2 x + 1 ) = 0 \\ \iff \left [ \begin{array}{l} cos x = 0 \\ -\sin x \cos x + \cos^2 x + 1 = 0 \end{array}\right.[/imath]
- Với [imath]\cos x = 0 \iff x = \dfrac{\pi}2 + k \pi[/imath]
- Với [imath]\cos^2 x + 1 - \sin x \cos x = 0[/imath]
[imath]\iff 2 = \tan^2 x - \tan x = 0 \\ \iff \tan^2 x - \tan x + 2 = 0 \, \, \text{vô nghiệm}[/imath]
Vậy: [imath]x = \dfrac{\pi}2 + k\pi[/imath] là nghiệm của phương trình

Mình sẽ tiếp tục cập nhật các ví dụ tiếp theo. Các bạn nhớ theo dõi nhé