Phương trình bậc ba nào cũng có ít nhất một nghiệm mà
)
Chứng minh cho pt bậc 3 tổng quát: [TEX]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=0[/TEX] với [TEX]a\neq 0[/TEX]
Xét với [TEX]a>0[/TEX] (TH [TEX]a<0[/TEX] cũng tương tự)
Số nghiệm của pt là số giao điểm của đồ thị hs [TEX]y=f(x)[/TEX] với Ox. Mà [TEX]y=f(x)[/TEX] là hàm đa thức => [TEX]f(x)[/TEX] liên tục [TEX]\forall x \in R[/TEX], tức đồ thị là một đường liền nét.
[TEX]\lim_{x\to -\infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} ax^3(1+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}+\frac{d}{x^3}) = -\infty[/TEX] vì [TEX]a>0[/TEX]
[TEX]\lim_{x\to \infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} ax^3(1+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}+\frac{d}{x^3}) = \infty[/TEX] vì [TEX]a>0[/TEX]
Do vậy đồ thị là một đường liền trải dài vô tận từ [TEX]{-}\infty[/TEX] đến [TEX]\infty[/TEX] nên luôn cắt Ox tại ít nhất 1 điểm. Tức pt có ít nhất 1 nghiệm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn