Toán 9 Phương trình bậc 2 (2)

[Akira Rin]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giả sử [tex]x_{1},x_{2}[/tex] là nghiệm của pt [tex]x^2+ax+1=0[/tex] và [tex]x_{3},x_{4}[/tex] là nghiệm của pt [tex]x^2+bx+1=0[/tex]. C/m
a. [tex](x_{1}-x_{3})(x_{1}+x_{4})(x_{2}-x_{3})(x_{2}+x_{4})=b^2+a^2[/tex]
b. [tex](x_{1}+x_{3})(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})(x_{2}+x_{4})=(a+b)^2[/tex][/tex]
Các anh chị trong TMod Toán hay những bạn nào giỏi toán thì giúp em với ạ

 

[hdiemht]

giả sử [tex]x_{1},x_{2}[/tex] là nghiệm của pt [tex]x^2+ax+1=0[/tex] và [tex]x_{3},x_{4}[/tex] là nghiệm của pt [tex]x^2+bx+1=0[/tex]. C/m
a. [tex](x_{1}-x_{3})(x_{1}+x_{4})(x_{2}-x_{3})(x_{2}+x_{4})=b^2+a^2[/tex]
b. [tex](x_{1}+x_{3})(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})(x_{2}+x_{4})=(a+b)^2[/tex][/tex]
Các anh chị trong TMod Toán hay những bạn nào giỏi toán thì giúp em với ạ

Mình chỉ giải câu $a)$ còn câu $b)$ tương tự nha.
Theo $Viet$ ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} x_{1}x_{2}=1 & & \\ x_{3}x_{4}=1 & & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=-a & & \\ x_{3}+x_{4}=-b & & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex](x_{1}-x_{3})(x_{1}+x_{4})(x_{2}-x_{3})(x_{2}+x_{4})[/tex]
Nhân 2 cái giữa với nhau, nhân cái đầu+cuối với nhau. Rút gọn, ta được:
[tex](x_{1}x_{4}-x_{2}x_{3})(x_{2}x_{4}-x_{1}x_{3})=..=x_{3}^2+x_{4}^2-(x_{1}^2+x_{2}^2)=(x_{3}+x_{4})^2-2x_{3}x_{4}-(x_{1}+x_{2})^2+2x_{1}x_{2}=b^2-a^2[/tex] chứ nhỉ? Sao lại bằng $b^2+a^2$ được?

 

[Ocmaxcute]

a, [tex]Áp dụng hệ thức Vi-ét ta tính được:[/tex]
[tex]x1 + x2 = -a; xx1.x2 = 1 Và x3+ x4 = -b, x3.x4=1[/tex]

(x1−x3)(x1+x4)(x2−x3)(x2+x4)=b2+a2(x1−x3)(x1+x4)(x2−x3)(x2+x4)=b2+a2(x_{1}-x_{3})(x_{1}+x_{4})(x_{2}-x_{3})(x_{2}+x_{4})=b^2+a^2

Nhân thừa số đấu vs thừa số cuối và 2 ts ở giữa ta đc:
= [tex](x_{1}x_{4} - x_{3}x_{2})(x_{4}x_{2} - x_{3}x_{1})[/tex]
= [tex](x_{4})^{2} + (x_{3})^{2} - ((x_{1})^{2} + (x_{2})^{2})[/tex]
= [tex]b^{2} - a^{2}[/tex]