Toán 10 Phương tích, trục đẳng phương

[oanh6807]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) có AD, BE, CF là các đường cao cắt nhau tại H, M là trung điểm BC. Gọi K là hình chiếu của H lên AM, I là giao điểm của CK với đường tròn đường kính AH.
a) CMR: EF, HK, BC đồng quy
b) CMR: EI vuông góc với AH
c) Giả sử EK cắt đường thẳng AB tại P, FK cắt đường thẳng AC tại Q. CMR: P, M, Q thẳng hàng

 

[_Error404_]

a) b) Quen thuộc
c) Sử dụng bổ đề sau:


Cho ABEC là tứ giác điều hòa nội tiếp (O). Khi đó giao hai tiếp tuyến tại A và E; B và C; giao AB và CE; giao BE và AC nằm trên 1 đường thẳng
Thật vậy gọi R;S là giao AB với EC; AC với BE; V; T là giao AE; BC với RS. Ta có (T;V;R;S)=(T;D;B;C)=-1 => TB/TC=DB/DC=(AB/AC)^2 (tính chất đường đối trung)
Gọi tiếp tuyến tại A cắt BC tại T' ta cũng cm được T'B/T'C=(AB/AC)^2 => T trùng T' => TA là tiếp tuyến (O). Tương tự TE là tiếp tuyến (O)
Lại có (T;V:R;S)=(D;V;E;A)=-1. Hoàn toàn tương tự cm được V là giao hai tt tại B;C của (O). Như vậy bổ đề được cm.
Trở lại bài toán áp dụng bổ đề hiển nhiên P;M;Q thẳng hàng

 

[kido2006]

a) b) Quen thuộc
c) Sử dụng bổ đề sau: View attachment 213800
Cho ABEC là tứ giác điều hòa nội tiếp (O). Khi đó giao hai tiếp tuyến tại A và E; B và C; giao AB và CE; giao BE và AC nằm trên 1 đường thẳng
Thật vậy gọi R;S là giao AB với EC; AC với BE; V; T là giao AE; BC với RS. Ta có (T;V;R;S)=(T;D;B;C)=-1 => TB/TC=DB/DC=(AB/AC)^2 (tính chất đường đối trung)
Gọi tiếp tuyến tại A cắt BC tại T' ta cũng cm được T'B/T'C=(AB/AC)^2 => T trùng T' => TA là tiếp tuyến (O). Tương tự TE là tiếp tuyến (O)
Lại có (T;V:R;S)=(D;V;E;A)=-1. Hoàn toàn tương tự cm được V là giao hai tt tại B;C của (O). Như vậy bổ đề được cm.
Trở lại bài toán áp dụng bổ đề hiển nhiên P;M;Q thẳng hàng
View attachment 213801

_Error404_Thực ra phần bổ đề của em có thể chứng minh bằng Pascal khá ngắn và trong bài kia chỉ cần áp dụng Pascal cho bộ [imath]\binom{EFA}{FEK}[/imath] là ta được điều phải chứng minh rồi

 

[_Error404_]

Thực ra phần bổ đề của em có thể chứng minh bằng Pascal khá ngắn và trong bài kia chỉ cần áp dụng Pascal cho bộ [imath]\binom{EFA}{FEK}[/imath] là ta được điều phải chứng minh rồi

kido2006)) E ch quen dùng pascal nên thôi cứ hàng điểm tạm Tks a