Phương pháp xét tích

[minhthutmn01]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho -1 \leqx \leq 2
-3\leq y \leq 4
-6\leq z\leq 7
và x+ y+ z= 0. Tìm max của M= x^2 + y^2 + z^2
Bài 2: Cho 0\leqa, b, c \leq 2 và a+ b+ c= 3
Tìm max cuả M= a^3 + b^3 + c^3
Bài 3: Cho -3 \leq x, y, z\leq 2 và x+y+z= -1
Tìm max của A= x^2 + y^2 + z^2
Bài 4: Cho a, b, c \leq 2. Tìm Max của M= a^3 + b^3 + c^3 khi a+b+c=0
Bài 5: Cho a, b, c \geq-1 và a^2 + b^2 + c^2= 12
Tìm Min của P= a^3 + b^3 + c^3
Bài 6: Cho x^2 + y^2 + z^2 =2. Tìm Max, Min của A= x+ y+ z - xyz

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 6:
$$|x+y+z-xyz|=|x(1-yz)+y+z| \le \sqrt{(2+2yz)(y^2z^2-2yz+2)}$$
Khảo sát hàm số.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 5:
$$x^3-3x^2+4=(x+1)(x-2)^2 \ge 0 \leftrightarrow x^3\ge 3x^2-4$$
Vì vậy mà $a^3+b^3+c^3 \ge 3(a^2+b^2+c^2)-12=24$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 4:
Muốn có một lời giải tự nhiên thì ta làm như sau
$$a^3+b^3+c^3=3abc$$
Giả sử $a=\text{max}\{a,b,c\}$
Nếu $a\le 0$ thì $3abc\le 0$
Nếu $a\ge 0$ thì $3abc \le \dfrac{3}{4}a^3 \le 6$
Vì vậy mà $\text{max}\{a^3+b^3+c^3\}=6$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $(a,b,c)\sim (2,-1,-1)$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 4:
Ta cũng có thể dùng phương pháp cát tuyến như sau:
$$x^3 \le 3x+2 \leftrightarrow (x-2)(x+1)^2 \ge 0$$
Vì vậy mà:
$$a^3+b^3+c^3\le 3(a+b+c)+6=6$$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 3:
Giả sử $x\ge y \ge z$
$$x^2+y^2+z^2=x(x-y)+(x+y)(y-z)-z \le 2(x-y)+2(y-z)-z=2x-3z \le 13$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $(x,y,z)\sim (-3,0,2)$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2: Giả sử $a\ge b\ge c$
$$a^2+b^2+c^2=a(a-b)+(a+b)(b-c)+c(a+b+c)\le 2(a-b)+3(b-c)+3c=a+a+b\le 5$$
$$a^3+b^3+c^3=a^2(a-b)+(a^2+b^2)(b-c)+(a^2+b^2+c^2)c\le 4(a-b)+5(b-c)+5c=3a+a+b \le 9$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $(a,b,c)\sim (0,1,2)$