Phương pháp tìm chữ số tận cùng

[tuananh8]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

I. Tìm một chữ số tận cùng
Tính chất 1: a) Các số có tận cùng là 0,1,5,6 khi nâng lên luỹ thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi
b) Các số có tận cùng là 4,9 khi nâng lên luỹ thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng không đổi
c) Các số tận cùng là 3,7,9 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n(n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1.
d) Các số tận cùng là 2,4,8 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n(n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6.
e) Tích của một số tự nhiên có chữ số tận cùng là 5 với bất kì số tự nhiên lẻ nào cũng cho ta số có chữ số tận cùng là 5.
Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.
Tính chất 3: a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3.
b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2.
c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng.
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các số:
a) [TEX]7^{9}^{9}[/TEX]
b)[TEX]14^{14}^{14}[/TEX]
c)[TEX]4^{5}^{67}[/TEX]
Giải: a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia [TEX]9^9[/TEX] cho 4:
[TEX]9^9-1=(9-1)(9^8+9^7+...+9+1)[/TEX] chia hết cho 4 [TEX]\Rightarrow9^9=4k+1(k\in N)[/TEX] [TEX]\Rightarrow7^{9}^{9}=7^{4k+1}=7^{4k}.7[/TEX]
do [TEX]7^{4k}[/TEX]tận cùng bằng 1 nên [TEX]7^{9}^{9}[/TEX]tận cùng bằng 7.
b) Dễ nhận thấy [TEX]14^{14}=4k(k\in N)\Rightarrow14^{14}^{14}=14^{4k}[/TEX]tận cùng bằng 6.
c)ta có: [TEX]5^{67}-1[/TEX]chia hết cho 4[TEX]\Rightarrow5^{67}=4k+1(k \in N)\Rightarrow 4^{5}^{67}=4^{4k+1}=4^{4k}.4[/TEX]
[TEX]4^{4k}[/TEX]tận cùng bằng 6 nên [TEX]4^{5}^{67}[/TEX]tận cùng bằng 4.

Bài 2:Tìm chữ số tận cùng của tổng:
[TEX]S=2^1+3^5+4^9+....+2004^{8009}[/TEX]
Lời giải:
: Trước hết ta có nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng [TEX]n^{4(n-2)+1},n \in ({1,2,3,......,2004})[/TEX]
Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng:
[TEX](2+3+...+9)+199.(1+2+...+9)+1+2+3+4=200(1+2+3+...+9)+9=9009[/TEX]
Vậy chữ số tận cùng của S là 9.
Bài 3Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho [TEX]n^2+n+1[/TEX] chia hết cho [TEX]1995^{2000}[/TEX]
Lời giải: ta có [TEX]1995^{2000}[/TEX]tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5. Vì vậy, ta đặt vấn đề là liệu [TEX]n^2+n+1[/TEX]có chia hết cho 5 không
Ta có: [TEX]n^2+n=n(n+1)[/TEX]là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của[TEX]n^2+n[/TEX]chỉ có thể là 0; 2; 6 [TEX]\Rightarrow n^2+n+1[/TEX]1 không chia hết cho 5.
Vậy: không tồn tại số tự nhiên n sao cho [TEX]n^2+n+1[/TEX]chia hết cho [TEX]1995^{2000}[/TEX]
*) Mình có một số bài dành cho các bạn:
1. Tìm chữ số tận cùng của:
a)[TEX]7^{1993}[/TEX]
b)[TEX]2^{1000}[/TEX]
c)[TEX]3^{1993}[/TEX]
d)[TEX]4^{161}[/TEX]
e)[TEX]2^{3}^{4}[/TEX]
f)[TEX]9^{9}^{9}[/TEX]
g)[TEX]19^{8}^{1945}[/TEX]
2.CMR: a)[TEX]8^{102}-2^{102}[/TEX]chia hết cho 10
b)[TEX]17^5+24^4-13^{21}[/TEX]chia hết cho 10

 

[hello114day]

ghê đó ta nếu em thích học toán chuyên thì bây h nên học về cái modum là vừa học modum không cần mấy cái tận cùng này đâu

 

[tuananh8]

Tiếp

II) Tìm hai chữ số tận cùng:
Nhận xét:Nếu [TEX]x \in N[/TEX] và x = 100k + y, trong đó [TEX]k;y \in N[/TEX]thì hai chữ số tận cùng của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y.
Hiển nhiên là y ≤ x. Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên y (nhỏ hơn).
Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn.
Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên
[TEX]x=a^m[/TEX] như sau:
Trường hợp 1: Nếu a chẵn thì [TEX]x=a^m[/TEX] chia hết cho [TEX]2^m[/TEX].Gọi n là số tự nhiên sao cho [TEX]a^{n-1}[/TEX]chia hết cho 25.
Viết [TEX]m=p^n+q (p;q \in N)[/TEX]trong đó q là số nhỏ nhất để [TEX]a^q[/TEX]chia hết cho 4.Ta có:
[TEX]x=a^m=a^q(a^{pn}-1)+a^q[/TEX]
vì [TEX]a^{n-1}[/TEX]chia hết cho 25 [TEX] \Rightarrow a^{pn}-1[/TEX]chia hết cho 25.. Mặt khác, do (4, 25) = 1 nên [TEX]a^q(a^{pn}-1)[/TEX]chia hết cho 100.
Vậy hai chữ số tận cùng của [TEX]a^m[/TEX] cũng chính là hai chữ số tận cùng của [TEX]a^q[/TEX] . Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của [TEX]a^q[/TEX]
Trường hợp 2: Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho [TEX]a^{n-1}[/TEX]chia hết cho 100.
Viết [TEX]m=u^n+v (u;v \in N ,0\leq v <n)[/TEX] ta có [TEX]x=a^m=a^v(a^{un}-1)+a^v[/TEX]
Vì [TEX]a^n-1[/TEX]chia hết cho 100[TEX] \Rightarrow a^{un}-1[/TEX]chia hết cho 100
Vậy hai chữ số tận cùng của [TEX]a^m[/TEX] cũng chính là hai chữ số tận cùng của [TEX]a^v[/TEX].Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của [TEX]a^v[/TEX]
VD:Tìm số dư của phép chia: [TEX]3^{5}^{17}[/TEX]cho 25
Giải: Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của [TEX]3^{5}^{17}[/TEX]. Do số này lẻ nên theo trường hợp 2, ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho [TEX]3^n-1[/TEX] chia hết cho 100.
Ta có:
[TEX]3^{10}=9^5=59049 \Rightarrow 3^{10}+1[/TEX]chia hết cho 50 [TEX]\Rightarrow3^{20}-1=(3^{10}-1)(3^{10}+1)[/TEX]chia hết cho 100.
mặt khác: [TEX]5^{16}-1[/TEX]chia hết cho 4 [TEX]\Rightarrow 5(5^{16})[/TEX]chia hết cho 20 [TEX]\Rightarrow 5^{17}=5(5^{16})+5=20k+5\Rightarrow 3^{5}^{17}=3^{20k+5}=3^5(3^{20k}-1}+3^5[/TEX], có hai chữ số tận cùng là 43.
Vậy số dư của phép chia [TEX]3^{5}^{17}[/TEX]cho 25 là 18.
Trong trường hợp số đã cho chia hết cho 4 thì ta có thể tìm theo cách gián tiếp.
Trước tiên, ta tìm số dư của phép chia số đó cho 25, từ đó suy ra các khả năng của hai chữ số tận cùng. Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho 4 để chọn giá trị đúng.
Các thí dụ trên cho thấy rằng, nếu a = 2 hoặc a = 3 thì n = 20 ; nếu a = 7 thì n = 4.
Một câu hỏi đặt ra là: Nếu a bất kì thì n nhỏ nhất là bao nhiêu ? Ta có tính chất sau đây:
Tính chất 4:Nếu [TEX]a \in N[/TEX] và và (a, 5) = 1 thì [TEX]a^{20}-1[/TEX] chia hết cho 25.
Tính chất 5: Số tự nhiên A không phải là số chính phương nếu:
+ A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 ;
+ A có chữ số tận cùng là 6 mà chữ số hàng chục là chữ số chẵn ;
+ A có chữ số hàng đơn vị khác 6 mà chữ số hàng chục là lẻ ;
+ A có chữ số hàng đơn vị là 5 mà chữ số hàng chục khác 2 ;
+ A có hai chữ số tận cùng là lẻ.
VD: CMR: nếu n-1 không chia hết cho 4 thì [TEX]7^n+2[/TEX]không thể là số chính phương
Giải: Do n − 1 không chia hết cho 4 nên n = 4k + r [TEX]r \in (0,2,3)[/TEX]
Ta có: [TEX]7^4-1=2400[/TEX]chia hết 100
Ta viết:[TEX]7^n+2=7^{4k+r}+2=7^r(7^{4k}-1)+7^r+2[/TEX]. Vậy hai chữ số tận cùng của [TEX]7^n+2[/TEX]cũng chính là hai chữ số tận cùng của [TEX]7^r+2 (r=0,2,3)[/TEX]nên chỉ có thể là 03, 51, 45. Theo tính chất 5 thì rõ ràng [TEX]7^n+2[/TEX] không thể là số chính phương khi n-1 không chia hết cho 4.

 

[micky191]

ghê đó ta nếu em thích học toán chuyên thì bây h nên học về cái modum là vừa học modum không cần mấy cái tận cùng này đâu

anh ơi dùng modun chỉ sứ dụng được trong một số bài tìm chữ số tận cùng thôi hầu hết ta nên sứ dụng xét chữ số tận cùng như trên . Modun hầu hết sứ dụng cho phép chia có dư hay tìm số dư cho 1 phép chia

 

[botvit]

thế [/TEX]5^2009[TEX] tận cùng là mấy ************************************************************************************************************************************************...[/TEX]

 

[tuananh8]

Tận cùng =5......... .

 

[botvit]

tìm 6 chữ số tận cùng của 5^2009 í
trình bày cách giải cái
cụ thể càng tốt

 

[botvit]

lôi lên cái
ai giup s em cái sáu chữ số tận cùng ý
chỉ cụ thể và chi tiết

 

[tuananh8]

lôi lên cái
ai giup s em cái sáu chữ số tận cùng ý
chỉ cụ thể và chi tiết

Sáu chữ số tận cùng của [TEX]5^{2009}[/TEX] là 953125 )=))))

 

[botvit]

bạn nói cách cụ thể tính ra đi mà
cách làm ý ************************************************************************************************************************************************..