- 14 Tháng năm 2017
- 3,974
- 7,619
- 744
- 21
- Phú Yên
- Trường THPT Lương Văn Chánh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
PHƯƠNG PHÁP TÂM QUAY TỨC THỜI TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN
1. Vấn đề
Ở trường chúng ta thường được dạy rằng chuyển động quay (tròn) và chuyển động tịnh tiến (thẳng) là 2 chuyển động khác nhau. Mình sẽ không bàn về tính đúng sai của vấn đề này, nhưng hi vọng đến cuối bài viết các bạn sẽ thấy được chúng thật ra cũng không khác gì nhau lắm.
Quay lại vấn đề, rất nhiều bài toán khó có liên quan đến sự quay của vật rắn mà chúng ta thường đau đầu khi cố gắng giải chúng theo cách thông thường. Ví dụ như hai bài toán này:
Câu 1: Cho biết $v_B, x, y$, tính $v_A.$
Câu 2: Cho biết $v_O, R, \alpha$. Tính $\vec{v_M}$. Biết vật chuyển động lăn không trượt.
Đối với câu 1, ta luôn có chiều dài thanh là không đổi, đồng thời cũng có hệ thức giữa 2 tọa độ x, y và chiều dài thanh: $x^2 + y^2 = L^2$. Đạo hàm 2 vế theo thời gian ta sẽ tìm được hệ thức giữa vận tốc 2 đầu thanh. Với những bạn không giỏi đạo hàm hoặc là thích tìm một cách nào đó trông "Vật lí" hơn thì đây quả là một phương pháp không hấp dẫn.
Đối với câu 2, vận tốc của một điểm trên vành tròn bằng hợp của 2 vector vận tốc chuyển động tròn và vector chuyển động tịnh tiến. Việc tổng hợp 2 vector này cũng tốn công lắm đó nhé
2. Phương pháp
Chính vì muốn tìm một cách giải có vẻ "Vật lí" và ít tốn công sức khi giải hơn thì người ta đã nghĩ ra một phương pháp khá hay gọi là "tâm quay tức thời". "Tâm quay tức thời" ở đây có nghĩa là tại thời điểm đang xét thì ta có thể xem như vật rắn đang quay quanh một tâm quay K nào đó. Tâm quay này có thể thay đổi ngay sau đó, bởi vì nó là "tức thời" mà.
Tính chất của tâm quay tức thời: Vì vật rắn tại thời điểm đang xét "quay" quanh tâm quay tức thời $K$, nên mọi điểm $I$ trên vật rắn đều có vector vận tốc vuông góc với bán kính $KI$ và có chiều (cùng hoặc ngược chiều kim đồng hồ) sao cho phù hợp với xu hướng chuyển động của vật rắn. Và đặc biệt là hệ vật sẽ có vận tốc góc là $\omega$ không đổi tại thời điểm ta xét.
Ta sẽ đi vào phương pháp cụ thể:
Bước 1: Xác định ít nhất 2 vector vận tốc trên vật rắn.
Bước 2: Từ gốc của 2 vector ta dựng một đường thẳng vuông góc với chúng (pháp tuyến).
Bước 3: Ta có 2 trường hợp:
- Hai vector vận tốc cùng phương: Nếu hai đường pháp tuyến trùng nhau, ta cố gắng tìm một điểm $K$ nằm trên đường thẳng đó mà có vận tốc bằng 0. Nếu hai pháp tuyến song song với nhau, ta chọn $K$ ở vô cực. $K$ chính là tâm quay tức thời của hệ.
- Hai vector vận tốc khác phương: Lúc này giao điểm $K$ của 2 đường pháp tuyến chính là tâm quay tức thời của hệ.
3. Ví dụ
Ta sẽ áp dụng phương pháp này giải 2 bài toán ở trên nhé.
Câu 1:
Bước 1: Xác định 2 vector vận tốc trên vật rắn.
Vì chuyển động của thanh khá rõ ràng là B luôn chuyển động sang phải còn A chuyển động xuống dưới. Ta chọn luôn $v_A, v_B$.
Bước 2: Từ gốc của 2 vector ta dựng pháp tuyến.
Bước 3: Vì 2 vector $v_A, v_B$ khác phương nên ta tìm giao điểm $K$ của chúng. Ở đây K chính là tâm quay tức thời của thanh
Bước 4: Chính vì K là tâm quay tức thời và vận tốc góc của thanh không đổi nên ta có:
$\omega = \frac{v_A}{KA} = \frac{v_B}{KB} \Rightarrow v_A = v_B.\frac{x}{y}$
Ta cùng kiểm tra lại bằng phương pháp mình đã nêu ở trên nhé!
Vì chiều dài thanh không đổi nên ta có: $x^2 + y^2 = L^2$
Đạo hàm 2 vế theo thời gian ta được: $x.\frac{dx}{dt} + y.\frac{dy}{dt} = 0 \Rightarrow x.v_B + y.v_A = 0 \Rightarrow v_A = -v_B.\frac{x}{y}$
Ở đây có một chút khác biệt chính là dấu $"-"$. Phương pháp sử dụng đạo hàm cho chúng ta biết chiều chuyển động của thanh luôn, còn phương pháp tâm quay tức thời chúng ta đã biết trước chiều chuyển động của nó rồi nên chỉ cần tính độ lớn thôi. Vậy nên mới có một chút khác biệt về dấu ở đây
Câu 2:
Bước 1: Ta chọn 2 vector như hình vẽ $(v_I,v_O)$.
Bước 2: Dựng pháp tuyến cho 2 vector. (hình vẽ)
Bước 3: Vì 2 pháp tuyến trùng nhau nên ta cố gắng tìm một điểm K có vận tốc bằng 0. Đó là điểm tiếp xúc với mặt đất (đặc điểm của chuyển động lăn không trượt là điểm tiếp xúc với mặt đất luôn đứng yên - có vận tốc bằng 0). Vậy K chính là tâm quay tức thời của hệ.
Bước 4:
Vì K là tâm quay tức thời nên vector vận tốc tại M vuông góc với KM và có xu hướng chuyển động xuống đất. Đồng thời ta cũng dễ dàng tính được vận tốc tại M: $\omega = \frac{v_M}{KM} = \frac{v_O}{KO} \Rightarrow v_M = v_O\frac{2R.\sin \alpha /2}{R} = 2v_O.\sin \alpha / 2$
(Nếu không sử dụng tâm quay tức thời thì tìm phương của $\vec{v_M}$ khá phiền phức.)
4. Ứng dụng
Phương pháp sử dụng "Tâm quay tức thời" rất hữu ích trong việc giải nhiều bài toán liên quan đến chuyển động của một thanh mà có 2 đầu chuyển động vuông góc nhau. Phương pháp này cũng hữu ích đối với các bài toán chuyển động lăn không trượt, chuyển động quay và tịnh tiến của vật rắn,...
Quay lại với vấn đề ở đầu bài, tại sao mình lại nói chuyển động quay và tịnh tiến thật ra không khác nhau?
Khi vật chuyển động tịnh tiến, vector vận tốc của các điểm trên vật có cùng chiều. Nếu ta chọn 2 vector sao cho 2 đường thẳng khi ta vẽ ở bước 2 song song với nhau, lúc này $K$ sẽ ở vô cùng. Tức là khi vật chuyển động tịnh tiến cũng là đang chuyển động tròn với bán kính là vô cùng!
Ở chiều ngược lại ta có ví dụ rõ nhất là chuyển động trên trái đất, rõ ràng trái đất có dạng hình cầu nhưng khi chúng ta chuyển động thì thấy quỹ đạo của xe là đường thẳng chứ không phải tròn. Bởi vì quãng đường của chúng ta quá nhỏ so với bán kính của Trái Đất. Vậy khi mà quãng đường quá nhỏ so với bán kính, chuyển động tròn được xem là chuyển động tịnh tiến!
Việc chuyển qua chuyển lại giữa tịnh tiến và tròn (quay) giúp ích rất nhiều trong việc tính toán đấy nhé, vì chúng ta sẽ linh động hơn trong việc xem xét quỹ đạo chuyển động của vật.
5. Bài tập luyện thêm
Câu 1: Một chiếc thang xếp gồm hai chân được liên kết với nhan bằng một khớp nối ở đỉnh và một sợi dây nằm ngang ở chân thang. Thang được đặt thẳng đứng trên mặt phẳng nằm ngang và tạo với bề mặt một góc $\alpha=60^{\circ}$. Nếu sợi dây đột nhiên bị cắt thì gia tốc của khớp nối tại tại thời điểm đó bằng bao nhiêu? Bỏ qua mọi ma sát.
Câu 2: Một thanh đồng chất, khối lượng $\mathrm{m}$, dài $\mathrm{l}=50 \mathrm{~cm}$ được giữ sao cho $\mathrm{A}$ tựa vào tường, $\mathrm{B}$ tựa vào sàn. Bỏ qua ma sát với tường và với sàn. Thả cho thanh rơi xuồng trong mặt phẳng thẳng đứng. trong khi rơi đầu $\mathrm{A}$ luôn tựa vào tường . Tìm gia tốc của thanh khi thanh tạo với mặt phẳng ngang góc $\alpha=45$. Lấy $g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$.
Câu 3: Một hình trụ lớn rỗng, khối lượng $\mathrm{m}=2 \mathrm{~kg}$, bán ính $\mathrm{R}=40 \mathrm{~cm}$, lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng với góc nghiêng $\alpha=30^{\circ}$ so với mặt phẳng nằm ngang. Trên bề mặt hình trụ có một con mèo, khối lượng $\mathrm{m}_{1}=1 \mathrm{~kg}$, đang chạy sao cho nó luôn giữ ở vị trí cao nhất của hình trụ. Tính gia tốc góc của hình trụ và gia tốc chuyển động tịnh tiến của tâm O.
Câu 4: Một đĩa mỏng đồng chất, bán kính $\mathrm{R}=20 \mathrm{~cm}$ khối lượng $\mathrm{m}=2 \mathrm{~kg}$, lăn không trượt trên sàn mặt phẳng nghiêng, có góc nghiêng $\alpha=30^{\circ}$ so với phương nằm ngang. Tính gia tốc của vật trên mặt phẳng nghiêng.