Phương pháp tách hạng tử

[manxinh_phuongthao_1998]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho x>y>z, chứng minh rằng biểu thức:
[TEX]A = x^4(y - z) + y^4(z - x) + z^4(x - y)[/TEX] luôn luôn dương
Bài 2: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện [TEX](x+y)(y+z)(z+x) = 8xyz[/TEX]
Chứng minh rằng x = y = z

 

[taituchuphan]

hj

Bài 2: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện (x+y)(y+z)(z+x)=8xyz
Chứng minh rằng x = y = z

Bài gải
Theo bđt Cô-si cho 2 số dương ta có

$x+y$ \geq $2\sqrt{xy}$

$y+z$ \geq $2\sqrt{yz}$

$z+x$ \geq $2\sqrt{zx}$

Nhân 2 vế của các bđt trên ta có $(x+y)(x+z)(y+z)>=8xyz$

Mặt khác theo đề bài ta có $(x+y)(x+z)(y+z)=8xyz$

Vậy dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z

bài 1

$A=x^4(y-z)+y^4(z-x)+z^4(x-y)$
theo đề bài ta có x>y>z
$(x-y)(y-z)(x-z)>0$

Chú ý đánh latex. Xem thêm tại đây.

 

[harrypham]

1. [TEX]x^4(y-z)+y^4(z-x)+z^4(x-y)[/TEX]
[TEX]= x^4y-x^4z+y^4z-y^4x+z^4(x-y)[/TEX]
[TEX]= xy(x^3-y^3)+z(x^4-y^4)+z^4(x-y)[/TEX]
[TEX]= xy(x^2+xy+y^2)(x-y)+z(x-y)(x^3+x^2y+xy^2+y^3)+z^4(x-y)[/TEX]
[TEX]= (x-y)(x^3y+x^2y^2+xy^3-zx^3-x^2yz-xy^2z-zy^3+z^4)[/TEX]
[TEX]= (x-y)[(x^3y-x^2yz)+(x^2y^2-xy^2z)+(xy^3-zy^3)-(zx^3-z^4)][/TEX]
[TEX]= (x-y)[x^2y(x-z)+xy^2(x-z)+y^3(x-z)-z(x^3-z^3)][/TEX]
[TEX]= (x-y)(x-z)(x^2y+xy^2+y^3-zx^2-zxy-zy^2)[/TEX]
[TEX]= (x-y)(x-z)[(x^2y-zx^2)+(xy^2-xyz)+(y^3-zy^2)][/TEX]
[TEX]= (x-y)(x-z)[x^2(y-z)+xy(y-z)+y^2(y-z)][/TEX]
[TEX]= (x-y)(x-z)(y-z)(x^2+xy+y^2)>0[/TEX]