Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đã bít

[hieut2bh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Một trong nhưng phương pháp thường dùng là sử dụng , ngoài hai bất đẳng thức đã bít là Cô si và bất đẳng thức bu - nhi - cô-nhi - cốp- xi - ki
Các bất đẳng thức khác khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại ( Xem phần trên).Để tiện theo dõi , tooi sẽ liệt kê các bất đẳng thức vào dưới đây.
1. [TEX]a^2[/TEX] + [TEX]b^2[/TEX] \geq 2ab ( bất dẳng thức Cô si )
2. [TEX](a+b)^2[/TEX]\geq4ab
3. 2([TEX]a^2[/TEX]+[TEX]b^2[/TEX] ) \geq [TEX](a+b)^2[/TEX]
4.[TEX]\frac{a}{b}[/TEX]+[TEX]\frac{b}{a}[/TEX]\geq2;a,b>0
5.[TEX]\frac{1}{a}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{b}[/TEX]\geq[TEX]\frac{4}{a+b}[/TEX]với a,b>0
6 [TEX]a^2[/TEX]+[TEX]b^2[/TEX]+[TEX]c^2[/TEX]\geqab+bc+ca
7.[TEX](ax+by)^2[/TEX]\leq([TEX]a^2[/TEX]+[TEX]b^2[/TEX])([TEX]x^2[/TEX]+[TEX]y^2[/TEX])
8.[TEX]\frac{a^2}{x}[/TEX] + [TEX]\frac{b^2}{y}[/TEX]\geq[TEX]\frac{(a+b)^2}{x+y}[/TEX]
như vậy các bạn đã bít được một số bất đẳng thức đã được chứng minh vậy các bạn hãy làm bài này cho tui :
bài1: chứng minh[TEX]\frac{ab}{c}[/TEX] + [TEX]\frac{bc}{a}[/TEX] + [TEX]\frac{ca}{b}[/TEX]\geqa+b+c
bài2cho các số dương x,y thoả mãn x+y=1 . Chứng minh rằng [TEX]\frac{1}{xy}[/TEX] + [TEX]\frac{2}{x^2+y^2}[/TEX]\geq8
bài 3chứng minh bất đẳng thức : [TEX]\frac{a^2}{b^2}[/TEX]+[TEX]\frac{b^2}{c^2}[/TEX]+[TEX]\frac{c^2}{a^2}[/TEX]\geq[TEX]\frac{a}{c}[/TEX]+[TEX]\frac{c}{b}[/TEX]+[TEX]\frac{b}{a}[/TEX]
bài 4 cho a,b,c là 3 số dương . Chứng minh rằng (a+b+c)([TEX]\frac{1}{a}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{b}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{c}[/TEX])\geq9
bài 5 cho các số dương a,b,c biết a.b.c=1. Chứng minh (a+1)(b+1)(c+1)\geq8 cứ làm hết nha tui khác post tiếp nếu cảm ơn thì thanh tui nhiều vì bài này nha

 

[linhhuyenvuong]

bài1: chứng minh[TEX]\frac{ab}{c}[/TEX] + [TEX]\frac{bc}{a}[/TEX] + [TEX]\frac{ca}{b}[/TEX]\geqa+b+c

________________________________
Bài này thiếu DDk a,b,c>0 rùi!
Tự bổ sung và tự làm luôn nha!
Ta có:
[tex]\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}=c.(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})[/tex] \geq2c.
tương tự
[tex]\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}=a.(\frac{c}{b}+\frac{b}{c})[/tex] \geq2a.
[tex]\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}=b.(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})[/tex] \geq2b
Cộng từng vế trên lại được ĐPCM

 

[linhhuyenvuong]

Một trong nhưng phương pháp thường dùng là sử dụng , ngoài hai bất đẳng thức đã bít là Cô si và bất đẳng thức bu - nhi - cô-nhi - cốp- xi - ki
Các bất đẳng thức khác khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại ( Xem phần trên).Để tiện theo dõi , tooi sẽ liệt kê các bất đẳng thức vào dưới đây.
1. [TEX]a^2[/TEX] + [TEX]b^2[/TEX] \geq 2ab ( bất dẳng thức Cô si )
2. [TEX](a+b)^2[/TEX]\geq4ab
3. 2([TEX]a^2[/TEX]+[TEX]b^2[/TEX] ) \geq [TEX](a+b)^2[/TEX]
4.[TEX]\frac{a}{b}[/TEX]+[TEX]\frac{b}{a}[/TEX]\geq2;a,b>0
5.[TEX]\frac{1}{a}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{b}[/TEX]\geq[TEX]\frac{4}{a+b}[/TEX]với a,b>0
6 [TEX]a^2[/TEX]+[TEX]b^2[/TEX]+[TEX]c^2[/TEX]\geqab+bc+ca
7.[TEX](ax+by)^2[/TEX]\leq([TEX]a^2[/TEX]+[TEX]b^2[/TEX])([TEX]x^2[/TEX]+[TEX]y^2[/TEX])
8.[TEX]\frac{a^2}{x}[/TEX] + [TEX]\frac{b^2}{y}[/TEX]\geq[TEX]\frac{(a+b)^2}{x+y}[/TEX]
như vậy các bạn đã bít được một số bất đẳng thức đã được chứng minh vậy các bạn hãy làm bài này cho tui :
bài1: chứng minh[TEX]\frac{ab}{c}[/TEX] + [TEX]\frac{bc}{a}[/TEX] + [TEX]\frac{ca}{b}[/TEX]\geqa+b+c
bài2cho các số dương x,y thoả mãn x+y=1 . Chứng minh rằng [TEX]\frac{1}{xy}[/TEX] + [TEX]\frac{2}{x^2+y^2}[/TEX]
bài 3chứng minh bất đẳng thức : [TEX]\frac{a^2}{b^2}[/TEX]+[TEX]\frac{b^2}{c^2}[/TEX]+[TEX]\frac{c^2}{a^2}[/TEX]\geq[TEX]\frac{a}{c}[/TEX]+[TEX]\frac{c}{b}[/TEX]+[TEX]\frac{b}{a}[/TEX]
bài 4 cho a,b,c là 3 số dương . Chứng minh rằng (a+b+c)([TEX]\frac{1}{a}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{b}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{c}[/TEX])
bài 5 cho các số dương a,b,c biết a.b.c=1. Chứng minh (a+1)(b+1)(c+1)\geq8 cứ làm hết nha tui khác post tiếp nếu cảm ơn thì thanh tui nhiều vì bài này nha.
________________________________________
Bài 2:thiếu đề rồi!
Bài 3:
Ta có:
[tex](\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})[/tex]
=[tex](\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})-2.(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})[/tex] (1)
Do a,b dương
\Rightarrow(1)\geq[tex](\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})-2.(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+2[/tex]=[tex](\frac{a}{b}-1)^2+(\frac{b}{a}-1)^2[/tex] \geq0
\Rightarrow
[tex](\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})[/tex]\geq0
\Rightarrow[tex](\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\geq\frac{a}{b}+\frac{b}{a}[/tex]
Tương tự vs mấy cái còn lại rùi cộng lại là ra!
Bài4:
Thiếu đề!
Chắc đề này là:
(a+b+c)(

+

+

) \geq9
Nếu thế này thì quá dễ!
Ta có:
(a+b+c)(

+

+

)=[tex] 1+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+1+(\frac{c}{b}+\frac{b}{c})+1+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})[/tex](1)
Do a,b,c dương.
\Rightarrow(1)\geq1+1+1+2+2+2=9
\RightarrowDDPCM.
Bài 5:
Đặt A=(a+1)(b+1)(c+1)
Ta có
[tex] A^2=(a+1)^2.(b+1)^2.(c+1)^2[/tex](1)
Có:a,b,c dương.
[tex](a+1)^2\geq4a[/tex]
Thay vào (1) dc
[tex] A^2\geq64abc=64[/tex]
\RightarrowA\geq8.

 

[hieut2bh]

thêm bài nữa cũng áp dụng cách giải bất phương trình nhờ các bất phương trình đã bít :
bài 1:cho các số a,b bít a+b=1.Chứng minh rằng
a/[TEX]a^2[/TEX]+[TEX]b^2[/TEX]\geq[TEX]\frac{1}{2}[/TEX]
b/[TEX]a^4[/TEX]+[TEX]b^4[/TEX]\geq\[TEX]\frac{1}{8}[/TEX]
bài 2 cho x,y,z\geq0vaf x+y+z\leq3.Chứng minh :
[TEX]\frac{x}{1+x^2}[/TEX]+[TEX]\frac{y}{1+y^2}[/TEX]+[TEX]\frac{z}{1+z^2}[/TEX]\leq[TEX]\frac{3}{2}[/TEX]\leq[TEX]\frac{1}{1+x}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{1+y}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{1+z}[/TEX]
bài 3 cho 2 số dương a,b có tổng bằng một . Chứng minh rằng
a.[TEX]\frac{1}{ab}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{a^2+b^2}[/TEX]\geq6
b.[TEX]\frac{2}{ab}[/TEX]+[TEX]\frac{3}{a^2+b^2}[/TEX]\geq14

 

[kienbgbh2010]

chém tạm bài một
a/[TEX]a^2[/TEX]+[TEX]b^2[/TEX]-[TEX]\frac{1}{2}[/TEX]=2([TEX]a^2[/TEX]+[TEX]b^2[/TEX])-[TEX](a+b)^2[/TEX]\geq0(bất phương trình đúng )\Rightarrow[TEX]a^2[/TEX]+[TEX]b^2[/TEX]\geq[TEX]\frac{1}{2}[/TEX]
bài dễ wet híu ạ cho bài pro hơn nha

 

[kienbgbh2010]

nhầm còn phần b wen theo câu a bình phương 2 vế có [TEX]a^4[/TEX]+2[TEX]a^b^2[/TEX]+[TEX]b^4[/TEX]>[TEX]\frac{1}{4}[/TEX] (5)
Mặt khác[TEX](a^2+b^2)^2[/TEX]\geq0\Rightarrow[TEX]a^2[/TEX]-2[TEX]a^b^2[/TEX]+[TEX]b^2[/TEX]\geq0 (6)
Cộng từng vế (5) và (6) :
2([TEX]a^4[/TEX]+[TEX]b^4[/TEX])>[TEX]\frac{1}{4}[/TEX]\Rightarrowdpcm
bài này ko khó

 

[khanh_ndd]

thêm bài nữa cũng áp dụng cách giải bất phương trình nhờ các bất phương trình đã bít :
bài 1:cho các số a,b bít a+b=1.Chứng minh rằng
a/[TEX]a^2[/TEX]+[TEX]b^2[/TEX]\geq[TEX]\frac{1}{2}[/TEX]
b/[TEX]a^4[/TEX]+[TEX]b^4[/TEX]\geq\[TEX]\frac{1}{8}[/TEX]
bài 2 cho x,y,z\geq0vaf x+y+z\leq3.Chứng minh :
[TEX]\frac{x}{1+x^2}[/TEX]+[TEX]\frac{y}{1+y^2}[/TEX]+[TEX]\frac{z}{1+z^2}[/TEX]\leq[TEX]\frac{3}{2}[/TEX]\leq[TEX]\frac{1}{1+x}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{1+y}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{1+z}[/TEX]
bài 3 cho 2 số dương a,b có tổng bằng một . Chứng minh rằng
a.[TEX]\frac{1}{ab}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{a^2+b^2}[/TEX]\geq6
b.[TEX]\frac{2}{ab}[/TEX]+[TEX]\frac{3}{a^2+b^2}[/TEX]\geq14

1. Áp dụng Cauchy-Schwarz [TEX]a^2+b^2\geq\frac{1}{2}(a+b)^2=\frac{1}{2};(a^4+b^4)(1+1)(1+1)(1+1)\geq(a+b)^4 \Rightarrow a^4+b^4\geq\frac{1}{8}[/TEX]
dấu = xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}[/TEX]
2.Theo AM-GM ta có [TEX]\frac{x}{1+x^2}+\frac{y}{1+y^2}+\frac{z}{1+z^2}\le\frac{x}{2x}+\frac{y}{2y}+\frac{z}{2z}\le\frac{3}{2}[/TEX]
Cauchy-Schwarz [TEX]\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq\frac{(1+1+1)^2}{3+x+y+z}\geq\frac{3}{2}[/TEX]
dấu = xảy ra [TEX]\Rightarrow x=y=z=1[/TEX]
3.a,[TEX]\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\geq\frac{1}{2ab}+\frac{4}{a^2+b^2+2ab}\geq6[/TEX](do[TEX]ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}=\frac{1}{4}[/TEX])
b,[TEX]\frac{2}{ab}+\frac{3}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+3.( \frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2})\geq14[/TEX](tương tự như trên)
dấu = xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}[/TEX]

 

[hieut2bh]

bài nữa nha các bạn cũng sử dụng phương pháp chứng minh các bất đẳng thức nhờ ác bất đẳng thức đã bít
bài tập cho 2 số dương a,b có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng :
a.[TEX]\frac{1}{ab}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{a^2+b^2}[/TEX]\geq6
b.[TEX]\frac{2}{ab}[/TEX]+[TEX]\frac{3}{a^2+b^2}[/TEX]\geq14
mỗi ngày một bài thui đáng nhẽ tớ ko cảm ơn tại tất cả tớ làm hết rùi nhưng cứ cho hợp lệ nha