- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
* Lý thuyết: Phương pháp toán học, giống như hiệu ứng domino trong thực thế. Trong dãy domino, khi 1 con đổ thì kéo theo con liền sau nó cũng đổ, cứ như thế, cả dãy domino sẽ đổ.
Trong quy nạp, ta giả sử với n=k, biểu thức cần chứng minh là đúng (con domino thứ k đổ). Ta chứng minh với n=k+1, biểu thức cần chứng minh vẫn đúng ( con thứ k+1 sẽ đổ nếu con k đổ). Khi đã chứng minh được, ta chỉ cần thử tại n=1 ( con đầu tiên được cho đổ), biểu thức đúng hay không. Nếu biểu thức nghiệm đúng, thì bài toán được chứng minh.
Trên đây là diễn giải về mặt từ ngữ, tóm tắt bước làm lại, gồm 2 bước:
Bước 1: Kiểu tra tại n=1 biểu thức A(1) có đúng hay không ( thông thường là 1, với 1 số bài cho giới hạn [TEX]n \geq a[/TEX] thì ta kiểm tra tại n=a )
Bước 2: Giả sử n=k, A(k) đúng, ta dựa vào đó để chứng minh A(k+1) cũng đúng
Bài 1: Chứng minh rằng: [tex]1^3+2^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}[/tex] (1)
Giải: Với n=1, thay vào (1) ta có:[TEX]1=1[/TEX] đúng
Giả sử (1) đúng với n=k, tức là: [tex]1^3+...+k^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}[/tex] (*)
Ta chứng minh (1) cũng đúng với n=k+1, tức là:
[tex]1^3+...+k^3+(k+1)^3=\frac{(k+2)^2(k+1)^2}{4}[/tex] (**)
Do (*) là đúng nên ta thay (*) vào (**) có:
[tex]\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}<=>(k+1)^2(\frac{k^2}{4}+k+1)=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}<=>\frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}[/tex]
<=>[tex]\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}[/tex] ( đúng )
Vậy (**) đúng. Do đó đẳng thức (1) là đúng
Bài 2: Chứng minh: [tex]1-2+3-...-2n+(2n+1)=n+1[/tex] (1)
Giải: với n=0 ta có :
VT=[TEX]1[/TEX] = VP
=>(1) đúng
* Lưu ý: dãy quy luật này n bắt đầu từ 0, vì theo đúng công thức thì 2.0+1=1 mới là số hạng đầu tiên của dãy.
Còn ở bài 1 thì lại bắt đầu từ n=1, vì theo công thức tổng quát thì n=1 đã là số hạng đầu tiên của dãy.
Giả sử (1) đúng với n=k, tức là: [TEX]1-2+3-...-2k+2k+1=k+1[/TEX](*)
Ta chứng minh (1) cũng đúng với n=k+1, tức là:
[TEX]1-2+3-...-2k+2k+1-2(k+1)+2(k+1)+1=k+2[/TEX](**)
Thay (*) vào (**) ta có: [TEX]k+1-2(k+1)+2(k+1)+1=k+2<=>k+2=k+2[/TEX] (đúng)
Vậy đẳng thức đã cho được chứng minh.
Bài 3: Chứng minh: [TEX]3^n>n^2+4n+5[/TEX](1) đúng, với [TEX]n \geq 3[/TEX]
Giải: Với n=3 ta có [TEX]27>26[/TEX] (đúng)
Giả sử (1) đúng với n=k>3, tức là: [TEX]3^k>k^2+4k+5[/TEX](*)
Ta chứng minh n cũng đúng với n=k+1, tức là: [TEX]3^{k+1}>(k+1)^2+4(k+1)+5[/TEX](**)
Thay (*) vào (**) ta được: [TEX]VT=3.3^k>3(k^2+4k+5)[/TEX]
Xét BPT: [TEX]3k^2+12k+15>(k+1)^2+4(k+1)+5<=>2k^2+6k+5>0[/TEX] ( luôn đúng )
Do đó (**) đúng. Vậy BPT đã cho được chứng minh.
Trong quy nạp, ta giả sử với n=k, biểu thức cần chứng minh là đúng (con domino thứ k đổ). Ta chứng minh với n=k+1, biểu thức cần chứng minh vẫn đúng ( con thứ k+1 sẽ đổ nếu con k đổ). Khi đã chứng minh được, ta chỉ cần thử tại n=1 ( con đầu tiên được cho đổ), biểu thức đúng hay không. Nếu biểu thức nghiệm đúng, thì bài toán được chứng minh.
Trên đây là diễn giải về mặt từ ngữ, tóm tắt bước làm lại, gồm 2 bước:
Bước 1: Kiểu tra tại n=1 biểu thức A(1) có đúng hay không ( thông thường là 1, với 1 số bài cho giới hạn [TEX]n \geq a[/TEX] thì ta kiểm tra tại n=a )
Bước 2: Giả sử n=k, A(k) đúng, ta dựa vào đó để chứng minh A(k+1) cũng đúng
Bài 1: Chứng minh rằng: [tex]1^3+2^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}[/tex] (1)
Giải: Với n=1, thay vào (1) ta có:[TEX]1=1[/TEX] đúng
Giả sử (1) đúng với n=k, tức là: [tex]1^3+...+k^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}[/tex] (*)
Ta chứng minh (1) cũng đúng với n=k+1, tức là:
[tex]1^3+...+k^3+(k+1)^3=\frac{(k+2)^2(k+1)^2}{4}[/tex] (**)
Do (*) là đúng nên ta thay (*) vào (**) có:
[tex]\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}<=>(k+1)^2(\frac{k^2}{4}+k+1)=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}<=>\frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}[/tex]
<=>[tex]\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}[/tex] ( đúng )
Vậy (**) đúng. Do đó đẳng thức (1) là đúng
Bài 2: Chứng minh: [tex]1-2+3-...-2n+(2n+1)=n+1[/tex] (1)
Giải: với n=0 ta có :
VT=[TEX]1[/TEX] = VP
=>(1) đúng
* Lưu ý: dãy quy luật này n bắt đầu từ 0, vì theo đúng công thức thì 2.0+1=1 mới là số hạng đầu tiên của dãy.
Còn ở bài 1 thì lại bắt đầu từ n=1, vì theo công thức tổng quát thì n=1 đã là số hạng đầu tiên của dãy.
Giả sử (1) đúng với n=k, tức là: [TEX]1-2+3-...-2k+2k+1=k+1[/TEX](*)
Ta chứng minh (1) cũng đúng với n=k+1, tức là:
[TEX]1-2+3-...-2k+2k+1-2(k+1)+2(k+1)+1=k+2[/TEX](**)
Thay (*) vào (**) ta có: [TEX]k+1-2(k+1)+2(k+1)+1=k+2<=>k+2=k+2[/TEX] (đúng)
Vậy đẳng thức đã cho được chứng minh.
Bài 3: Chứng minh: [TEX]3^n>n^2+4n+5[/TEX](1) đúng, với [TEX]n \geq 3[/TEX]
Giải: Với n=3 ta có [TEX]27>26[/TEX] (đúng)
Giả sử (1) đúng với n=k>3, tức là: [TEX]3^k>k^2+4k+5[/TEX](*)
Ta chứng minh n cũng đúng với n=k+1, tức là: [TEX]3^{k+1}>(k+1)^2+4(k+1)+5[/TEX](**)
Thay (*) vào (**) ta được: [TEX]VT=3.3^k>3(k^2+4k+5)[/TEX]
Xét BPT: [TEX]3k^2+12k+15>(k+1)^2+4(k+1)+5<=>2k^2+6k+5>0[/TEX] ( luôn đúng )
Do đó (**) đúng. Vậy BPT đã cho được chứng minh.
