phương pháp qui nạp toán học

[nho_cute173]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

c/m : với mọi n thuộc N
a) [TEX]\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1[/TEX]

Chú ý latex

 

[quynhnhung81]

c/m : với mọi n thuộc N
a) [TEX]\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1[/TEX]

Chú ý latex

Với n=1 thì ta có [TEX]S_1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} =\frac{13}{12} > 1[/TEX]

Giả sử bdt đúng với n= k (k >1, k thuộc N), nghĩa là
[TEX]S_k =\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{3k+1}>1[/TEX]
ta cần chứng minh bdt đúng với n= k+1 , tức là
[TEX]S_{k+1}= \frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+...+\frac{1}{3k+4}>1[/TEX]
Thật vậy ta có
[TEX]S_{k+1}= \frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+...+\frac{1}{3k+4}[/TEX]

[TEX]=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+ \frac {1}{3k+1}+\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+3}+\frac{1}{3k+4}-\frac{1}{k+1}[/TEX]

[TEX]=S_k + \frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+3}+\frac{1}{3k+4}-\frac{1}{k+1}[/TEX]

[TEX]=S_k+\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+4}-\frac{2}{3k+3}[/TEX]

[TEX]=S_k+\frac{9k^2+18k+10}{(3k+2)(3k+4)(3k+3)}[/TEX]

ta có [TEX] S_k >1 [/TEX] ( giả thiết quy nạp)

Do k > 1 và k thuộc N [TEX]\Rightarrow \frac{9k^2+18k+10}{(3k+2)(3k+4)(3k+3)} >0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow S_{k+1} > 1 [/TEX]

Vậy [TEX]\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1[/TEX] với \forall n thuộc N