1. Gọi [imath]15[/imath] số đó là [imath]a_1,a_2,...,a_{15}[/imath]. Giả sử điều phải chứng minh sai, hay tồn tại ít nhất [imath]1[/imath] số âm.
Không mất tính tổng quát, giả sử [imath]a_1<0[/imath].
Theo giả thiết ta có: [imath]\begin{cases} a_1+a_2+...+a_8>a_9+a_{10}+...+a_{15} \\ a_1+a_9+a_{10}+...+a_{15}> a_2+a_3+...+a_8 \end{cases}[/imath]
Vì [imath]a_1<0[/imath] nên [imath]\begin{cases} a_2+a_3+...+a_8>a_9+a_{10}+...+a_{15} \\ a_9+a_{10}+...+a_{15} > a_2+a_3+...+a_8 \end{cases}[/imath] (vô lý)
Vậy điều giả sử sai hay ta có điều phải chứng minh.
2. Giả sử tồn tại cách chia [imath]X[/imath] thành các tập hợp [imath]A_1,A_2,...,A_k[/imath] thỏa mãn đề bài.
Gọi [imath]a_1,a_2,...,a_k[/imath] là phần tử lớn nhất của các tập hợp [imath]A_1,A_2,...,A_k[/imath].
Khi đó theo giả thiết, trong mỗi tập đó thì phần tử lớn nhất bằng tổng các phần tử còn lại nên tổng các phần tử trong tập hợp [imath]A_i[/imath] là [imath]2a_i[/imath].
Từ đó tổng các phần tử trong các tập hợp [imath]A_1,A_2,...,A_k[/imath] bằng [imath]2(a_1+a_2+...+a_k)[/imath]
Mặt khác, tổng trên lại bằng tổng các phần tử của [imath]X[/imath], tức [imath]2(a_1+a_2+...+a_k)=1+2+...+2017=\dfrac{2017 \cdot 2018}{2}=1009 \cdot 2017[/imath]
Nhận thấy vế trái chẵn còn vế phải lẻ nên ta có mâu thuẫn. Vậy điều ta giả sử sai hay ta có điều phải chứng minh.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Toán rời rạc
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
