D
dinhnam9f
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Phương pháp 1: Phương pháp làm trội
Dùng tính chẩt của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về dạng để tính tổng hữa hạn hoặc tích hữu hạn.
- Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn:
là biểu diễn số hạng tổng quát
về hiệu của 2 số hạng liên tiếp nhau :
Lúc đó :
+(a_2-a_3)+...+(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{n+1})
-Phương pháp chung để tính tích hữu hạn
là biểu diễn số hạng tổng quát
về thương của 2 số hạng liên tiếp nhau
Lúc đó
VD:Chứng minh các BĐT sau với n là STN:
a,
(k>1)
b,
CM:
a.
Với k>1 ta có
}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\)
Lần lượt thay k=2,3,..,n rồi cộng lại có:
=> đpcm
b.
Với mọi k>1 ta có:
(2k+1)}=\frac{2[(2k+1)-(2k-1)}{(2k-1)(2k+1)}=2(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}))
Vậy :
)
Lần lượt thay k=2,3,...,n vào rồi cộng lại ta được:
<1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3})
Bài tập tương tự
CMBĐT: :
\sqrt{n}}<2)
Phương pháp 2
hương pháp lượng giác
Sử dụng điều kiện của biến
Đặt x=ksina với
hoặc x=kcosa với
VD:
CM: Điều kiện:
.
Đặt
Khi đó:
với
Bài tập tương tự:
CMR: nếu |x|<1 và n là số nguyên lớn hơn 2 thì ta cs BĐT:
^n=(1+x)^n<2^n)
Kĩ thuật Cô-si ngược dấu:
Bây giờ chúng ta sẽ xem xét BĐT Cô-si và một kĩ thuật đặc biêt- kĩ thuật Cô-si ngược dấu. Đây là một trong những kĩ thuật hay, khéo léo, mới mẻ của BĐT Cô-si. Hãy cùng xem xét các ví dụ cụ thể sau:
VD1: Cho các số dương a,b,c thoả mãn Đk :a+b+c=3. CM BĐT:
LG:
Rõ ràng ta không thể dùng trực tiếp BĐT Cô-si với mẫu số vì BĐT sẽ đổi chiều
Tuy nhiên, rất may mắn, có thể dùng lại BĐT đó, theo cách khác:
Ta đã sử dụng BĐT Cô-si cho 2 số
ở dưới mẫunhưng lại có được một BĐT thuận chiều. Nếu không biết cách sử dụng phương pháp " Ngược Cô-si" thì BĐT trên sẽ rất khó và dài!
Từ BĐT trên, xây dựng 2 BĐT tương tự với b,c rồi cộng cả 3 BĐT lại suy ra :
vì ta có
. Đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 ./.
VD2: CMR: với mọi số thực dương a,b,c,d ta luôn có:
LG:
Áp dụng BĐT Cô-Si:
xây dựng 3 BĐT tương tự với b,c,d rồi cộng vế các BĐT lại ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức sảy ra khi a=b=c=d.
Hãy cùng luyện tập vơí các bài toán sau:
1. Cho a,b,c là các số nguyên thoả mãn a+b+c=0. CMR:
2. CMR: với mọi a,b,c,d dương có tổng bằng 4 thì
Dùng tính chẩt của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về dạng để tính tổng hữa hạn hoặc tích hữu hạn.
- Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn:
là biểu diễn số hạng tổng quát
Lúc đó :
-Phương pháp chung để tính tích hữu hạn
Lúc đó
VD:Chứng minh các BĐT sau với n là STN:
a,
b,
CM:
a.
Với k>1 ta có
Lần lượt thay k=2,3,..,n rồi cộng lại có:
b.
Với mọi k>1 ta có:
Vậy :
Lần lượt thay k=2,3,...,n vào rồi cộng lại ta được:
Bài tập tương tự
CMBĐT: :
Phương pháp 2
hương pháp lượng giácSử dụng điều kiện của biến
Đặt x=ksina với
VD:
CM: Điều kiện:
Đặt
Khi đó:
với
Bài tập tương tự:
CMR: nếu |x|<1 và n là số nguyên lớn hơn 2 thì ta cs BĐT:
Kĩ thuật Cô-si ngược dấu:
Bây giờ chúng ta sẽ xem xét BĐT Cô-si và một kĩ thuật đặc biêt- kĩ thuật Cô-si ngược dấu. Đây là một trong những kĩ thuật hay, khéo léo, mới mẻ của BĐT Cô-si. Hãy cùng xem xét các ví dụ cụ thể sau:
VD1: Cho các số dương a,b,c thoả mãn Đk :a+b+c=3. CM BĐT:
LG:
Rõ ràng ta không thể dùng trực tiếp BĐT Cô-si với mẫu số vì BĐT sẽ đổi chiều
Tuy nhiên, rất may mắn, có thể dùng lại BĐT đó, theo cách khác:
Ta đã sử dụng BĐT Cô-si cho 2 số
Từ BĐT trên, xây dựng 2 BĐT tương tự với b,c rồi cộng cả 3 BĐT lại suy ra :
vì ta có
VD2: CMR: với mọi số thực dương a,b,c,d ta luôn có:
LG:
Áp dụng BĐT Cô-Si:
xây dựng 3 BĐT tương tự với b,c,d rồi cộng vế các BĐT lại ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức sảy ra khi a=b=c=d.
Hãy cùng luyện tập vơí các bài toán sau:
1. Cho a,b,c là các số nguyên thoả mãn a+b+c=0. CMR:
2. CMR: với mọi a,b,c,d dương có tổng bằng 4 thì
Last edited by a moderator: