- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 24
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
để chứng minh một mệnh đề liên quan đến số tự nhiên là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:
B1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
B2: Giả thiết mệnh đề đúng một số tự nhiên bất kì n=k (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng mệnh đề trên cũng đúng với n=k+1.
Phương pháp trên gọi là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp.
ví dụ 1: chứng minh rằng với mọi [tex]n\in \mathbb{N}^*[/tex] thì [tex]1+3+5+...+(2n-1)=n^2[/tex]
giải:
theo các bước của phương pháp quy nạp, ta làm như sau
với n=1, vế trái bằng 1, vế phải bằng 1. vậy đẳng thức đúng với n=1.
giả sử đẳng thức đúng với n=k, ta có:
[tex]1+3+5+...+(2k-1)=k^2[/tex] (1)
ta cần chứng minh đẳng thức cũng đúng với n=k+1.
thật vậy, ta có:
[tex]1+3+5+...+(2k-1)+(2(k+1)-1)=k^2+(2k+1)=(k+1)^2[/tex]
vì đẳng thức đúng với n=k+1, do đó đẳng thức đúng với n nguyên dương.
vậy ta được điều phải chứng minh.
ví dụ 2: chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì ta luôn có: [tex]A=n^3-n[/tex] chia hết cho 3.
giải:
xét với n=1 thì A=0 chia hết cho 3, nên mệnh đề đúng.
giả sử mệnh đề đúng với n=k, thì [tex]A=k^3-k[/tex] chia hết cho 3.
ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1.
thật vậy, ta có:
[tex]A=(k+1)^3-(k+1)=k^3+3k^2+3k+1-k-1=k^3-k+3(k^2+k)[/tex]
theo giả thiết quy nạp thì [tex]k^3-k[/tex] chia hết cho 3, lại có [tex]3(k^2+k)[/tex] chia hết cho 3.
vậy A chia hết cho 3 với mọi n nguyên dương.
* Lưu ý:
nếu bại toán yêu cầu chứng minh với [tex]n\geq p[/tex]:
Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
B1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
B2: Giả thiết mệnh đề đúng một số tự nhiên bất kì n=k(gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng với n=k+1
B1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
B2: Giả thiết mệnh đề đúng một số tự nhiên bất kì n=k (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng mệnh đề trên cũng đúng với n=k+1.
Phương pháp trên gọi là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp.
ví dụ 1: chứng minh rằng với mọi [tex]n\in \mathbb{N}^*[/tex] thì [tex]1+3+5+...+(2n-1)=n^2[/tex]
giải:
theo các bước của phương pháp quy nạp, ta làm như sau
với n=1, vế trái bằng 1, vế phải bằng 1. vậy đẳng thức đúng với n=1.
giả sử đẳng thức đúng với n=k, ta có:
[tex]1+3+5+...+(2k-1)=k^2[/tex] (1)
ta cần chứng minh đẳng thức cũng đúng với n=k+1.
thật vậy, ta có:
[tex]1+3+5+...+(2k-1)+(2(k+1)-1)=k^2+(2k+1)=(k+1)^2[/tex]
vì đẳng thức đúng với n=k+1, do đó đẳng thức đúng với n nguyên dương.
vậy ta được điều phải chứng minh.
ví dụ 2: chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì ta luôn có: [tex]A=n^3-n[/tex] chia hết cho 3.
giải:
xét với n=1 thì A=0 chia hết cho 3, nên mệnh đề đúng.
giả sử mệnh đề đúng với n=k, thì [tex]A=k^3-k[/tex] chia hết cho 3.
ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1.
thật vậy, ta có:
[tex]A=(k+1)^3-(k+1)=k^3+3k^2+3k+1-k-1=k^3-k+3(k^2+k)[/tex]
theo giả thiết quy nạp thì [tex]k^3-k[/tex] chia hết cho 3, lại có [tex]3(k^2+k)[/tex] chia hết cho 3.
vậy A chia hết cho 3 với mọi n nguyên dương.
* Lưu ý:
nếu bại toán yêu cầu chứng minh với [tex]n\geq p[/tex]:
Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
B1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
B2: Giả thiết mệnh đề đúng một số tự nhiên bất kì n=k(gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng với n=k+1
